Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 1

Se o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 ∞ c n x n

for 10 , qual é o raio de convergência da série? ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1 Por que?

Passo 1

Vamos Lá pessoal. Essa questão é extremamente teórica. Precisamos descobrir qual o raio de convergência de uma série qualquer. A partir da comparação com uma outra série.Vamos ver aqui novamente quais são essas séries? ∑ n = 0 ∞ c n x n     | ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1

Passo 2

Ao observar as séries, o que podemos dizer sobre elas?

Vamos lembrar do teorema de derivada de séries?

O teorema diz o seguinte:Quando f x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Então

f ' x =   ∑ n = 1 ∞ n c n x n - 1  

E aê, galera! Olha só, a série que temos é então a derivada da série que já conhecemos a convergência. Então esse mesmo teorema nos diz que o raio de convergência é exatamente o mesmo.CUIDADO!!! Aqui uma informação que não foi perguntada no exercício, mas que é extremamente importante.Temos que o raio é o mesmo. O intervalo não, pois pode haver alteração de convergência nos extremos do intervalo.

Então, elas têm o mesmo raio de convergência, R = 10 .

Resposta

R = 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 4 n x 2 n n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 1 2 * 4 * 8 * … ( 2 n ) x
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ n x n 4 n ( n 2 + 1 )
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ 1 + 2 + 4 + … + n 1 2 + 2
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ n + 1 - n x - 3 n