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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 19

Resolva o problema de valor inicial:

(d y)/(d x) + 3 x^2 y = x^2 , y (0) = - 1

Passo 1

Nessa a gente pode só reescrever, pois ela já está no formato padrão y^' + P (x) y = Q ( x ) :

y^' + 3 x^2 y = x^2

Agora vamos ao fator integrante v (y) = e^(int P (x)) ...

O P ( x ) é 3 x^2 certo? Então vamos integrar isso...

int 3 x^2 d x = x^3 + C

O fator integrante então é:

v (x) = e^(x^3)

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = (1)/(v (x)) int v (x) Q (x) d x

A nossa fica:

y = (1)/(e^(x^3)) int e^(x^3) ( x^2 ) d x

y = (1)/(e^(x^3)) ((1)/(3) e^(x^3) + C)

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y (0) = - 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y (0) = (1)/(e^0) ((1)/(3) e^0 + C) = - 1

(1)/(3) + C = - 1 -> C = - (4)/(3)

Então a solução da equação é:

y = (1)/(e^(x^3)) ((1)/(3) e^(x^3) - (4)/(3))

y = (1)/(3) - (4)/(3 e^(x^3))

Resposta

y = (1)/(3) - (4)/(3 e^(x^3))

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