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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 18

Resolva o problema de valor inicial:

x (d y)/(d x) + 2 y = x^2 + 1 , x > 0 , y (1) = 1

Passo 1

Vamos começar dividindo tudo por x ...

y^' + (2 y)/(x) = x + (1)/(x)

Agora vamos ao fator integrante v (y) = e^(int P (x)) ...

O P ( x ) é (2)/(x) certo? Então vamos integrar isso...

int (2)/(x) = 2 ln x + C

O fator integrante então é:

v (x) = e^(2 ln (x)) = x^2

Passo 2

Então agora nós montamos a equação, da forma:

y = (1)/(v (x)) int v (x) Q (x) d x

A nossa fica:

y = (1)/(x^2) int x^2 (x + (1)/(x)) d x

y = (1)/(x^2) int x (x^2 + 1) d x

y = (1)/(x^2) int x^3 + x d x

y = (1)/(x^2) ((x^4)/(4) + (x^2)/(2) + C)

Usamos o valor inicial para determinarmos a constante...

Passo 3

Como y (1) = 1 , substituímos na equação encontrada e achamos o valor de C :

y (1) = (1)/(1^2) ((1^4)/(4) + (1^2)/(2) + C) = 1

(3)/(4) + C = 1 -> C = (1)/(4)

Então a solução da equação é:

y = (1)/(x^2) ((x^4)/(4) + (x^2)/(2) + (1)/(4))

Resposta

y = (1)/(x^2) ((x^4)/(4) + (x^2)/(2) + (1)/(4))

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