Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 4
Calcule a soma da série cujas somas parciais são dadas.
Passo 1
Ei, mestre dos números! Está pronto para mergulhar fundo no mundo das séries e explorar os segredos matemáticos por trás delas?
Antes de começarmos, vamos relembrar alguns conceitos essenciais sobre séries.
Uma série é uma expressão matemática que representa a soma de uma sequência infinita de termos. É uma ferramenta poderosa na matemática, frequentemente utilizada para modelar fenômenos contínuos e realizar cálculos em situações complexas.
A soma da série é a soma de todos os seus termos, desde o primeiro até o infinito.
Agora, aplicaremos esses conceitos à série dada , cujas somas parciais são representadas por , onde:
Para encontrar a soma da série, precisamos calcular o limite de à medida que tende ao infinito, desse jeito aqui:
Passo 2
Para a sequência que nos foi dada, temos:
Para calcular este limite, podemos usar a regra do limite para frações. Neste caso, o grau do numerador e do denominador são os mesmos, então podemos dividir todos os termos por para simplificar:
Na expressão , estamos basicamente dividindo 1 pelo quadrado de um número . Conforme aumenta, o denominador cresce muito mais do que o numerador 1. Isso significa que estamos dividindo uma quantidade cada vez menor (1) por um número cada vez maior ().
Ex: 1
0,01
0,0001
0,000001
Portanto, podemos concluir que os termos se aproximam de zero à medida que n tende ao infinito.
Então, temos que:
Passo 3
Aplicando o limite de fato, ficaremos com:
Logo: