Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 24
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.
Passo 2
Com isso, vamos resolver a equação característica dessa EDO! É só substituir os por elevados à mesma potência da derivada de , tipo assim: e . Ficando assim:
Agora, vamos calcular as raízes dessa equação:
Então, temos duas raízes complexas:
Beleza? E a nossa solução geral fica assim:
Onde é a parte real da raiz complexa e é a parte imaginária, nesse caso:
Então:
Beleza até aqui?
Passo 3
Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?
As duas condições de contorno são:
A primeira condição de contorno nos diz que . Aplicando na solução do passo temos:
A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos:
Vamos derivar pela regra do produto:
A condição de contorno nos diz que , então fazendo temos:
Agora temos como determinar por completo a solução:
Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)
Beleza?
Vamos pra próxima?