Resolva o problema de valor inicial

4y'' + 4y' + 3y = 0

y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes (pois todos os coeficientes são constantes kkk) e é homogênea, ou seja, o lado direito da equação é zero.

Passo 2

Com isso, vamos resolver a equação característica dessa EDO! É só substituir os y ' s por r ' s elevados à mesma potência da derivada de y , tipo assim: y^(' ') -> r^2 e y^' -> r . Ficando assim:

4 r^2 + 4 r + 3 r = 0

Agora, vamos calcular as raízes dessa equação:

(- 4 +- sqrt(16 - 4 (4) (3)))/(2 (4)) = (- 4 +- sqrt(- 32))/(8) =

= (- 4 +- 4 sqrt(- 2))/(8) = (- 4 +- 4 sqrt(2) i)/(8) = (- 1 +- sqrt(2) i)/(2)

Então, temos duas raízes complexas:

r_1 = - (1)/(2) + (sqrt(2))/(2) i

r_2 = - (1)/(2) - (sqrt(2))/(2) i

Beleza? E a nossa solução geral fica assim:

y (x) = e^(alpha x) (c_1 cos beta x + c_2 sen beta x)

Onde alpha é a parte real da raiz complexa e beta é a parte imaginária, nesse caso:

alpha = - (1)/(2)

beta = (sqrt(2))/(2)

Então:

y (x) = e^(- (1)/(2) x) (c_1 cos (sqrt(2))/(2) x + c_2 sen (sqrt(2))/(2) x)

Beleza até aqui?

Passo 3

Show! Agora vamos aplicar as condições iniciais?

As duas condições de contorno são:

y (0) = 0

y^' (0) = 1

A primeira condição de contorno nos diz que y (0) = 0 . Aplicando na solução do passo 3 temos:

y (0) = e^(- (1)/(2) (0)) (c_1 cos 0 + c_2 sen 0)

y (0) = c_1 = 0

A segunda condição de contorno é sobre a derivada. Então, derivando a solução temos:

y = c_2 e^(- (1)/(2) x) sen (sqrt(2))/(2) x

Vamos derivar pela regra do produto:

y^' = - (c_2)/(2) e^(- (1)/(2) x) sen (sqrt(2))/(2) x + (sqrt(2))/(2) c_2 e^(- (1)/(2) x) cos (sqrt(2))/(2) x

A condição de contorno nos diz que y^' (0) = 1 , então fazendo x = 0 temos:

- (c_2)/(2) e^(- (1)/(2) (0)) sen 0 + (sqrt(2))/(2) c_2 e^(- (1)/(2) (0)) cos 0 = 1

(sqrt(2))/(2) c_2 = 1

:.

c_2 = (2)/(sqrt(2))

Agora temos como determinar por completo a solução:

y (x) = e^(- (1)/(2) x) ((2)/(sqrt(2)) sen sqrt(2) x)

Por enquanto é isso pessoal, espero ter ajudado ;)

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y (x) = e^(- (1)/(2) x) ((2)/(sqrt(2)) sen sqrt(2) x)

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