Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.6 - Ex. 12
Determine a área da superfície.
A parte da esfera que está dentro do parabolóide .
Passo 1
E aí, meu povo! Tranquilidade?
A questão pede pra gente achar a área da superfície da parte da esfera:
que está dentro do parabolóide
A área da superfície com a equação é:
Ou seja, vamos achar as derivadas parciais de e da função:
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
- : derivada da nossa função em relação a , onde tratamos as outras variáveis como constantes.
E também vamos precisar dos limites de integração da função que é dado pela região no plano . Como o cruzamento da esfera e do paraboloide será uma circunferência, vamos expressar em termos de coordenadas polares nossa integral.
Lembrando também que:
Depois de acharmos as derivadas parciais e os limites de integração, é só a gente resolver a integral dupla daquele jeito que sabemos, começando pela integral “de dentro”.
Vamo lá!
Passo 2
A equação da esfera pode ser reescrita como:
Colocando em evidência:
Então o que temos aqui é uma esfera de raio 2 e deslocada em centro em .
Escrevendo nossa , ficamos com
Assim temos que
e
Substituindo no termo de dentro da integral de área:
Temos:
Somando as 3 frações, temos:
Passo 3
O Domínio é definido como a intersecção do paraboloide e da esfera. A equação da esfera é:
E do paraboloide é:
Substituindo uma equação na outra:
Como é nosso paraboloide que define nossos limites, temos
Que é uma circunferência de raio máximo igual a . Como nossa região de integração é uma circunferência, vamos expressar nossa integral de área de superfície através de coordenadas polares:
Como a circunferência tem centro e raio , seus intervalos serão:
E como um círculo completo nosso ângulo vai variar assim:
Substituímos também:
Então nossos limites de integração serão:
Passo 4
Então, vamos resolver nossa integral para finalmente acharmos nosso valor de área de superfície. Vamos começar pela integral de dentro, usando o método da substituição.
Fazendo:
Derivando :
Logo temos:
Integrando, e já substituindo de volta pra nossa variável inicial:
Vamos aplicar os limites de integração:
Fazendo as operações:
Realizando a integral que sobrou:
Aplicando os limites de integração:
Chegamos no resultado da nossa área!