Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 52
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Calma, muita calma nessa hora! Não se assustem com a questão. Em outras palavras ela nos pede para resolver uma equação diferencial ordinária (EDO). Apesar deste tópico não ter sido estudado ainda, podemos resolver a questão com o que já aprendemos. O procedimento é o seguinte: vamos separa os diferenciais e , deixando cada um deles em um membro. Vejamos um exemplo abaixo.
Se , basta que nós integremos ambos os membros para descobrir o valor de Isto é:
E consequentemente,
A questão do valor inicial é para descobrir quem é o nosso .
Passo 2
Vejamos abaixo a EDO que devemos resolver.
Esta é uma EDO de segunda ordem. Por isto, precisamos integrar a nossa função 2 vezes. Na primeira integração, obteremos:
Portanto, temos:
E, se integrarmos novamente, obteremos a nossa função. Vamos fazer então a nossa primeira integração.
Passo 3
Vamos utilizar agora a nossa primeira condição de contorno, ou nosso valor inicial. Quando , desta forma, temos:
Portanto, nossa função é:
Passo 4
Precisamos integrar mais uma vez a função obtida no passo anterior. Sendo assim, temos:
E agora, resolvemos todas as integrações possíveis, só nos falta descobrir o valor . Para isto, basta substituir o valor de . Logo,
Portanto, temos: