Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 27
Neste problema, vamos explorar um pouco mais a analogia entre problemas de Sturm-Liouville de valores de contorno e matrizes auto adjuntas. Seja uma mátria autoadjunta com autovalores e autovalores ortogonais correspondentes
Considere o sistema não homogêneo de equações
onde é um número real dado e é um vetor dado. Vamos mostrar um modo de resolvera equação acima que é análogo ao método do apresentado no texto para se resolver as Eq (1) e (2).
a) Mostre que
b) Suponha que
e mostre que para que a Eq seja satisfeita, é necessário que . Logo
desde que não seja um dos autovalores de , para Compara esse resultado com a
Funções de Green. Considere o sistema não homogêneo de equações algébricas
onde é uma mátria autoadjunta é um número real dado e é um vetor dado. Em vez de usar uma expansão em autovetores como no problema 27, podemos resolver a Eq (i) calculando a matriz inversa , que existe se não é umautovalor de . Então
Passo 1
a) Observe que os autovetores são ortogonais. Dado o vetor
Fazendo o produto intenro, com em ambos os lados da equação nós temos
Passo 2
b) Consideremos a solução na forma
Substituindo na eq (i), e usando a forma acima de b
Isso segue que
Como os autovetores são linearmente independentes
Isso faz com que
desde que não sera igual à um dos autovalores.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)