Neste problema, vamos explorar um pouco mais a analogia entre problemas de Sturm-Liouville de valores de contorno e matrizes auto adjuntas. Seja A uma mátria autoadjunta n × n com autovalores λ 1 , … , λ n e autovalores ortogonais correspondentes ξ 1 ,… ,ξ n . Considere o sistema não homogêneo de equações A x - μ x = b , i onde μ é um número real dado e b é um vetor dado. Vamos mostrar um modo de resolvera equação acima que é análogo ao método do apresentado no texto para se resolver as Eq (1) e (2).a) Mostre que b = ∑ i = 1 n b i ξ i ,o n d eb i = b ,ξ j b) Suponha que x = ∑ i = 1 n a i ξ i e mostre que para que a Eq ( i ) seja satisfeita, é necessário que a i = b 1 λ i - μ . Logo x = ∑ i = 1 n b i ξ i λ i - μ ξ ( i )( i i ) desde que μ não seja um dos autovalores de A , μ ≠ λ i , para i = 1,2 … n . Compara esse resultado com a E q .13 . Funções de Green. Considere o sistema não homogêneo de equações algébricas A x - μ x = b( i ) onde A é uma mátria autoadjunta n × n , μ é um número real dado e b é um vetor dado. Em vez de usar uma expansão em autovetores como no problema 27, podemos resolver a Eq (i) calculando a matriz inversa A - μ I - 1 , que existe se μ não é umautovalor de A . Então x = A - μ I - 1 b ( i i )

Enunciado

a) Observe que os autovetores são ortogonais. Dado o vetor

Fazendo o produto intenro, com em ambos os lados da equação nós temos

b) Consideremos a solução na forma

Substituindo na eq (i), e usando a forma acima de b

Isso segue que

Como os autovetores são linearmente independentes

Isso faz com que

desde que não sera igual à um dos autovalores.

Ei, a resposta está no passo a passo :)