Enunciado

Neste problema, vamos explorar um pouco mais a analogia entre problemas de Sturm-Liouville de valores de contorno e matrizes auto adjuntas. Seja A uma mátria autoadjunta n × n com autovalores λ 1 , … , λ n e autovalores ortogonais correspondentes ξ 1 ,   … ,   ξ n .

Considere o sistema não homogêneo de equações

A x - μ x = b ,             i

onde μ é um número real dado e b é um vetor dado. Vamos mostrar um modo de resolvera equação acima que é análogo ao método do apresentado no texto para se resolver as Eq (1) e (2).

a) Mostre que

b = ∑ i = 1 n b i ξ i ,   o n d e   b i = b ,   ξ j

b) Suponha que

x = ∑ i = 1 n a i ξ i

e mostre que para que a Eq ( i ) seja satisfeita, é necessário que a i = b 1 λ i - μ . Logo

x = ∑ i = 1 n b i ξ i λ i - μ ξ ( i )                           ( i i )  

desde que μ   não seja um dos autovalores de A ,     μ ≠ λ i , para i = 1,2 … n . Compara esse resultado com a E q .   13 .

Funções de Green. Considere o sistema não homogêneo de equações algébricas

A x - μ x = b                       ( i )

onde A é uma mátria autoadjunta n × n ,     μ é um número real dado e b é um vetor dado. Em vez de usar uma expansão em autovetores como no problema 27, podemos resolver a Eq (i) calculando a matriz inversa A - μ I - 1 , que existe se μ não é umautovalor de A . Então

x = A - μ I - 1 b                     ( i i )

Passo 1

a) Observe que os autovetores são ortogonais. Dado o vetor b .

b = ∑ i = 1 n b i ξ i

Fazendo o produto intenro, com ξ ( j ) em ambos os lados da equação nós temos

b ,   ξ j = b j ξ j ,   ξ j

Passo 2

b) Consideremos a solução na forma

x = ∑ i = 1 n a i ξ i

Substituindo na eq (i), e usando a forma acima de b

∑ i = 1 n a i ξ i = ∑ i = 1 n μ a i ξ i = ∑ i = 1 n b i ξ i

Isso segue que

∑ i = 1 n [ a i λ i - μ a i - b i ] ξ i = 0  

Como os autovetores são linearmente independentes

a i λ i - μ a i - b i = 0   p a r a   i = 1,2 , … , n

Isso faz com que

x = ∑ i = 1 n b , ξ i λ i - μ ξ i

desde que μ não sera igual à um dos autovalores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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