Nos problemas de 6 a 9, determine uma expansão formal em série de autofunções para a solução do problema dado. Suponha que f satisfaz as condições do Teorema 11.3.1 . Diga para quais valores de mu asolução existe.

6. y'' + μ y = -f(x), y(0) = 0, y'(1) = 0

Passo 1

Observe que a equação diferencia pode ser reescrita como

- y = μ y + f ( x )

Note que nesse caso então temos q x = 0   e r x = 1 . Como mostrado na questão 1 dessa seção a autofunção é

ϕ n x = 2 s e n 2 n - 1 x 2    

Queassociamos com o autovalor λ n = 2 n - 1 2 π 2 4 .

Passo 2

Baseado no Teorema 11.3 . 1 , a solução é dada por:

y x = 2   ∑ n = 1 ∞ c n λ n - μ   s e n   2 n - 1 x 2

desde que μ ≠ λ n .

Passo 3

Vamos ter com isso então nosso c n   sendo

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

c n = 2 ∫ 0 1 f x s e n 2 n - 1 x 2   d x

Resposta

y x = 2   ∑ n = 1 ∞ c n λ n - μ   s e n   2 n - 1 x 2

c n = 2 ∫ 0 1 f x s e n 2 n - 1 x 2   d x

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