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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 14

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F = r 2 r ,   r = x i + y j + z k

S é a esfera com raio R e centrada na origem.

Passo 1

Oii, pessoal! Tudo certo?

A questão quer que a gente calcule a integral de superfície

∬ S   F ⋅ d S

Onde:

F = r 2 r ,   r = x i + y j + z k

E S   consiste na esfera com raio R e centrada na origem.

O Teorema do Divergente diz que:

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V

Ou seja, o fluxo de F pela fronteira de E é igual a integral tripla da divergência de F sobre a mesma fronteira E .

Então, nós vamos precisar calcular o divergente de F dado por:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Aqui, o exercício não nos deu a função F diretamente, então vamos usar o vetor r dado para determinar nosso F .

Depois, com o divergente de F em mãos, é só calcular nossa integral tripla com base nos limites de integração da nossa superfície S .

Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar definindo nossa função campo F :

F = r 2 r

Onde:

  r = x i + y j + z k

Ou seja, nosso campo é r multiplicado pelo módulo de r ao quadrado. Calculando o módulo de um vetor, precisamos da raiz quadrada da soma dos quadrados das 3 componentes:

r = x 2 + y 2 + z 2

Elevando ao quadrado:

r 2 = x 2 + y 2 + z 2

Multiplicando:

F = r 2 r = x 2 + y 2 + z 2 ⋅ x i + y j + z k

Multiplicando a constante para dentro de cada componente, nosso campo F será:

F = ( x 3 + x y 2 + x z 2 ) i + ( y x 2 + y 3 + y z 2 ) j + ( z x 2 + z y 2 + z 3 ) k

Vamos calcular o divergente dele!

A função campo é do tipo:

F = P i + Q j + R k

Então, nossos termos são:

P = ( x 3 + x y 2 + x z 2 )

Q = ( y x 2 + y 3 + y z 2 )

R = ( z x 2 + z y 2 + z 3 )  

Aplicando na equação do divergente:

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Teremos:

d i v F = ∂ ( y x 2 + y 3 + y z 2 ) ∂ x + ∂ ( y x 2 + y 3 + y z 2 ) ∂ y + ∂ ( z x 2 + z y 2 + z 3 ) ∂ z

Resolvendo as derivadas parciais e somando os termos, ficamos com:

d i v F = 3 x 2 + y 2 + z 2 + x 2 + 3 y 2 + z 2 + x 2 + y 2 + 3 z 2

Somando novamente:

d i v F = 3 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x 2 + y 2 + z 2 = 5 ( x 2 + y 2 + z 2 )

Passo 3

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = ∭ E   5 ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V

A melhor coisa que podemos fazer aqui é passar para coordenadas esféricas, para facilitar a vida da gente, já que estamos lidando justamente com uma superfície esférica.

O sistema de coordenadas esféricas tem 3 variáveis:

  • ρ : raio da esfera. Como tem raio R e está centrada na origem, temos a variação:

    • 0 ≤ ρ ≤ R

  • θ : ângulo da esfera no plano x y , ao redor do eixo z . Como no plano x y nossa esfera traça uma circunferência completa, nossa variação será:

    • 0 ≤ θ ≤ 2 π

  • ϕ : ângulo que sai do eixo positivo de z . Como nossa esfera é completa ϕ vai do eixo z positivo até negativo. Então:

0 ≤ ϕ ≤ π

Para coordenadas esféricas, temos:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

d V = ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ   d θ   d ϕ  

Então, nossa integral se torna:

∭ E   5 ( x 2 + y 2 + z 2 ) d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R 5 ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 4

Resolvendo a integral, teremos:

∬ S   F ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R 5 ρ 2 ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Separando a integral do produto como um produto de integrais, cada qual com seus limites e variáveis de integração:

∬ S   F ⋅ d S = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 R 5 ρ 4 d ρ

Resolvendo as integrais:

∬ S   F ⋅ d S = θ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 0 π 5 ρ 5 5 0 R

Aplicando os limites de integração:

∬ S   F ⋅ d S = 2 π R 5 [ - ( cos ⁡ π - cos ⁡ 0 ) = 4 π R 5

Então:

∬ E   F ⋅ d S = ∭ E   d i v   F   d V = 4 π R 5

Resposta

Logo, ∬ S   F ⋅ d S = 4 π R 5

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