Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 29

Bom pessoal, nessa questão temos a derivada de uma função:

E sabemos que:

E queremos encontrar a função .

Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :

E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :

onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.

Vamos usar a condição dada de que para encontrar o valor de .

Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada da constante:

E do polinômio:

Nossa derivada é:

A antiderivada do primeiro termo é:

E a antiderivada do segundo termo é:

Agora é só juntar tudo e somar uma constante para encontrar a antiderivada geral, que é a nossa função original:

Para encontrar faremos:

Logo,

Portanto, temos que:

Derivando , temos

Dessa forma provamos que é a função original que resultou nessa derivada dada.