Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 30

Encontre f .

f ' x = 8 x 3 + 12 x + 3 ,                         f 1 = 6

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos a derivada de uma função:

f ' x = 8 x 3 + 12 x + 3

E sabemos que:

f 1 = 6

E queremos encontrar a função f x .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Vamos usar a condição dada de que f 1 = 6 para encontrar o valor de C .

Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada da constante:

c = c x '

E do polinômio:

x n = x n + 1 n + 1 '

Passo 2

Nossa derivada é:

f ' x = 8 x 3 + 12 x + 3

A antiderivada do primeiro termo é:

8 x 3 = 8 x 4 4 '

8 x 3 = 2 x 4 '

E a antiderivada do segundo termo é:

12 x = 12 x 2 2 '

12 x = 6 x 2 '

Para o terceiro termo temos:

3 = 3 x '

Agora é só juntar tudo e somar uma constante C para encontrar a antiderivada geral, que é a nossa função f x original:

f x = 2 x 4 + 6 x 2 + 3 x + C

Para encontrar C faremos:

f 1 = 6

Logo,

2 + 6 + 3 + C = 6

C = - 5

Portanto, temos que:

f x = 2 x 4 + 6 x 2 + 3 x - 5

Passo 3

Derivando f ( x ) , temos

f ' x = 8 x 3 + 12 x + 3

Dessa forma provamos que f x = 2 x 4 + 6 x 2 + 3 x - 5 é a função original que resultou nessa derivada dada.

Resposta

f x = 2 x 4 + 6 x 2 + 3 x - 5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

69. O gráfico da aceleração a t de um carro medido em f t / s 2 é mostrado. Use a Regra do ponto médio para estimar o aumento na velocidade do carro durante o intervalo de seis segundos.
Lake Lanier na Geórgia, EUA, é um reservatório criado por Buford Dam no rio Chattahoochee. A tabela mostra a taxa de entrada de água, em pés cúbicos por segundo, conforma medido todas as manhãs às 7 :
A figura abaixo mostra os gráficos de y = f ( x ) e de y = ∫ 0 x f ( t ) d t . Determine de qual função são os gráficos e explique seu raciocínio.
Use um recurso gráfico computacional para gerar o gráfico de : y = 1 + 1 x x + 1 - 1 + 1 x x Na janela 0,100 × 0 ; 0,2 . Use esse gráfico e a parte (d) do exercício 48 para fazer uma estimativa grosse
Resolva o problema de valor incial:(d y)/(d x) = (1 - x)/(sqrt(x)) , y (1) = 0 (d y)/(d x) = cos (x) - 5 e^x , y (0) = 0 (d y)/(d x) = root(3)(x) , y (1) - 2 (d y)/(d x) = x e^(x^2) , y (0) = 0