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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 18

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. s e c x ⋅ t g ( x )
  2. 4 s e c 3 x ⋅ t g ( 3 x )
  3. s e c π x 2 ⋅ t g π x 2

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções trigonométricas, mais especificamente o s e c k x ⋅ t g k x que é o caso que temos aqui tem se a seguinte regra

f x = s e c k x ⋅ t g ( k x ) → F x = 1 k ⋅ s e c ⁡ ( k x ) + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = s e c x ⋅ t g x → F x = 1 1 ⋅ s e c x =   s e c ( x )

g x =   4 s e c 3 x ⋅ t g 3 x → G x = 4 ⋅ 1 3 sec ⁡ 3 x = 4 3 ⋅ s e c ⁡ ( 3 x )

h x =   s e c π x 2 ⋅ t g π x 2   →

H x = 1 π 2 ⋅ s e c π x 2 = 2 π ⋅ s e c π x 2

Resposta

  1. s e c ( x )
  2. 4 3 ⋅ s e c ⁡ ( 3 x )
  3. 2 π ⋅ s e c π x 2
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