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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.2 - Ex. 14

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 11-16 para r como uma função vetorial de t.

Equação diferencial: d r d t = t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k

Condição inicial: r 0 = i + j

Passo 1

Fala minha galera querida!! Precisamos descobrir quem é esse r, para isso vamos rearranjar a equação diferencial dada e usar da condição inicial para resolver o problema, vem comigo.

d r d t = t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k

Vamos passar dt para o outro lado:

d r = t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k d t

E agora integramos dos dois lados:

∫ d r = ∫ t 3 + 4 t i + t j + 2 t 2 k d t

Integral de dr é o próprio r, já as outras integrais devemos relembrar de quando estudamos integrais, vou dar uma mini revisada:

∫ t 3 + 4 t d t = t 4 4 + 2 t 2

∫ t d t = t 2 2

∫ 2 t 2 d t = 2 3 t 3

Substituindo tudo com adição de uma constante C da integral indefinida.

r t = t 4 4 + 2 t 2 i + t 2 2 j + 2 3 t 3 k + C

Passo 2

Vamos descobrir quanto vale r para t = 0 :

r t = t 4 4 + 2 t 2 i + t 2 2 j + 2 3 t 3 k + C

r 0 = 0 4 4 + 2 ⋅ 0 2 i + 0 2 2 j + 2 3 0 3 k + C

r 0 = C

Passo 3

Mas da condição inicial, sabemos que r 0 = i + j , então bora substituir para encontrar C.

r 0 = C

i + j = C

Agora sim podemos encontrar a equação r ( t ) :

r t = t 4 4 + 2 t 2 i + t 2 2 j + 2 3 t 3 k + C

r t = t 4 4 + 2 t 2 i + t 2 2 j + 2 3 t 3 k + i + j

r t = t 4 4 + 2 t 2 + 1 i + t 2 2 + 1 j + 2 3 t 3 k

E aí está a função vetorial! Bora pro próximo!

Resposta

r t = t 4 4 + 2 t 2 + 1 i + t 2 2 + 1 j + 2 3 t 3 k

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