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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 229i

Transforme em produto: i) y = (1 + s e n a)/(1 - s e n a)

Passo 1

Galera, o primeiro passo chave nessa questão será escrever 1 como sendo s e n (pi)/(2) . y = (1 + s e n a)/(1 - s e n a) = (s e n (pi)/(2) + s e n a)/(s e n (pi)/(2) - s e n a)

A partir disso, a gente consegue escrever como produto essa soma de senos do numerador e essa diferença de senos no denominador.

Passo 2

Como escrever o numerador em forma de produto? Utilizando a fórmula:

s e n p + s e n q = 2 * s e n (p + q)/(2) * c o s c o s (p - q)/(2)

no nosso caso, temos p = (pi)/(2) e q = a . 2 * s e n ((pi)/(2) + a)/(2) * c o s c o s ((pi)/(2) - a)/(2) = 2 * s e n ((pi)/(4) + (a)/(2)) * c o s c o s ((pi)/(4) - (a)/(2))

Passo 3

No numerador vamos fazer algo parecido, só vamos trocar a fórmula pois aqui temos uma diferença de senos: s e n p - s e n q = 2 * s e n (p - q)/(2) * c o s c o s (p + q)/(2)

Ou seja, vamos escrever:

2 * s e n ((pi)/(2) - a)/(2) * c o s c o s ((pi)/(2) + a)/(2) = 2 * s e n ((pi)/(4) - (a)/(2)) * c o s c o s ((pi)/(4) + (a)/(2))

Passo 4

Agora vamos substituir nossa expressão com o numerador e o denominador obtidos nos passos anteriores:

y = (2 * s e n ((pi)/(4) + (a)/(2)) * c o s c o s ((pi)/(4) - (a)/(2)))/(2 * s e n ((pi)/(4) - (a)/(2)) * c o s c o s ((pi)/(4) + (a)/(2)))

Reorganizando de uma forma conveniente, podemos escrever:

y = (s e n ((pi)/(4) + (a)/(2)))/(c o s c o s ((pi)/(4) + (a)/(2))) * (c o s c o s ((pi)/(4) - (a)/(2)))/(s e n ((pi)/(4) - (a)/(2)))

Podemos perceber que o primeiro fator nada mais é do que a t g ((pi)/(4) + (a)/(2)) e o segundo fator não é nada menos do que a c o t g ((pi)/(4) - (a)/(2)) .

Resposta

Então reescrevendo nosso y, ficamos com:

y = t g ((pi)/(4) + (a)/(2)) * c o t g ((pi)/(4) - (a)/(2))

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