Resolve a integral abaixo:

34 –

∫ sec ⁡ x   t g 2 x   d x

Passo 1

∫ sec ⁡ x   t g 2   x   d x

Dada a identidade trigonométrica:

t g 2 x = - 1 + sec 2 ⁡ x

∫ sec ⁡ x   - 1 + sec 2 ⁡ x d x

∫ - sec ⁡ x + sec 3 ⁡ x d x

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia da integral temos:

∫ - sec ⁡ x   d x +   ∫ sec 3 ⁡ x d x

- ∫ sec ⁡ x   d x +   ∫ sec 3 ⁡ x d x

Dado a Integral de ∫ sec ⁡ x   d x   =   ln ⁡ t g x + s e c ⁡ ( x ) + c

- ( ln ⁡ t g x + sec ⁡ x ) +   ∫ sec 3 ⁡ x   d x

Resolvendo:

∫ sec 3 ⁡ x   d x dado pela fórmula:

∫ sec n ⁡ x   d x = sec n - 1 ⁡ x s e n   x n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x   d x

Inserindo na fórmula temos:

∫ sec 3 ⁡ x = sec 2 ⁡ x   s e n   x 2 + 1 2 ∫ sec ⁡ x   d x

Dado a Integral de ∫ sec ⁡ x   d x   =   ln ⁡ t g x + s e c ⁡ ( x ) + c

Assim temos na fórmula geral:

- ( ln ⁡ t g x + sec ⁡ x ) +   sec 2 ⁡ x   s e n   x 2 + 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + c  

Passo 3

Organizando os termos:

- ( ln ⁡ t g x + sec ⁡ x ) + 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x +   sec 2 ⁡ x   s e n   x 2 + c  

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + sec 2 ⁡ x   s e n   x 2 + c  

Resolvendo, dado:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x   e s e n   x cos ⁡ x = t g   x

Subsituindo e aplicando os conhecimentos matemáticos:

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + 1 cos ⁡ x 2   s e n   x 2 + c

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + 1 cos 2 ⁡ x   s e n   x 2 + c

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + s e n   x cos 2 ⁡ x   2 + c

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + s e n   x 2 cos 2 ⁡ x + c

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x ⋅ s e n   x cos ⁡ x + c

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ x ⋅ s e n   x cos ⁡ x + c =  

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + 1 2 ⋅ sec ⁡ x t g   x + c

Resposta

- 1 2 ln ⁡ t g x + sec ⁡ x + 1 2 sec ⁡ x t g   x + c

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