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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 34

Resolve a integral abaixo:

34 –

int sec x t g^2 x d x

Passo 1

int sec x t g^2 x d x

Dada a identidade trigonométrica:

t g^2 x = - 1 + sec^2 x

int sec x (- 1 + sec^2 x) d x

int - sec x + sec^3 x d x

Passo 2

Utilizando a regra da cadeia da integral temos:

int - sec x d x + int sec^3 x d x

- int sec x d x + int sec^3 x d x

Dado a Integral de int sec x d x = ln |t g (x) + s e c ( x )| + c

- ( ln |t g (x) + sec (x)| ) + int sec^3 x d x

Resolvendo:

int sec^3 x d x dado pela fórmula:

int sec^n x d x = (sec^(n - 1) x s e n x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

Inserindo na fórmula temos:

int sec^3 x = (sec^2 x s e n x)/(2) + (1)/(2) int sec x d x

Dado a Integral de int sec x d x = ln |t g (x) + s e c ( x )| + c

Assim temos na fórmula geral:

- ( ln |t g (x) + sec (x)| ) + (sec^2 x s e n x)/(2) + (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + c

Passo 3

Organizando os termos:

- ( ln |t g (x) + sec (x)| ) + (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (sec^2 x s e n x)/(2) + c

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (sec^2 x s e n x)/(2) + c

Resolvendo, dado:

sec x = (1)/(cos x) e (s e n x)/(cos x) = t g x

Subsituindo e aplicando os conhecimentos matemáticos:

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (((1)/(cos x))^2 s e n x)/(2) + c

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + ((1)/(cos^2 x) s e n x)/(2) + c

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + ((s e n x)/(cos^2 x))/(2) + c

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (s e n x)/(2 cos^2 x) + c

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (1)/(2 cos x) * (s e n x)/(cos x) + c

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (1)/(2) * (1)/(cos x) * (s e n x)/(cos x) + c =

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (1)/(2) * sec x t g x + c

Resposta

- (1)/(2) (ln |t g (x) + sec (x)|) + (1)/(2) sec x t g x + c

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