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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 29

Resolve a integral abaixo:

29 –

int_(5 pi // 6 )^(pi) (cos^4 x)/(sqrt(1 - s e n x)) d x

Passo 1

int_(5 pi // 6 )^(pi) (cos^4 x)/(sqrt(1 - s e n x)) d x

Agora vamos resolver a integral pelo método de substituição udu:

u = s e n x

d u = c o s x

d x = (1)/(d u) = (1)/(c o s x)

u = s e n x , x = a r c s e n ( u )

Vamos substituir e considerar a integral com indefinida:

int (cos^4 x)/(sqrt(1 - u)) * (1)/(cos x) d u = int (cos^4 x)/(cos x sqrt(1 - u)) d u = int (cos^3 x)/(sqrt(1 - u)) d u

Substituindo o x por x = a r c s e n ( u )

int (cos^3 (a r c s e n ( u )))/(sqrt(1 - u)) d u

Passo 2

Dado a identidade trigonométrica:

cos (s e n^(- 1) (u)) = sqrt(1 - u^2)

Substituindo na integral:

int ((sqrt(1 - u^2))^3)/(sqrt(1 - u)) d u

Utilizando a regra do radical:

sqrt(u) = u^((1)/(2))

int (((1 - u^2)^((1)/(2)))^3)/((1 - u)^((1)/(2))) d u = int ((1 - u^2)^((3)/(2)))/((1 - u)^((1)/(2))) d u =

Utilizando a propriedade matemática, que:

(x^((a)/(m)))/(y^((a)/(m))) = root(m)((x^a)/(y^b))

Assim:

int ((1 - u^2)^((3)/(2)))/((1 - u)^((1)/(2))) d u = int sqrt(((1 - u^2)^3)/(1 - u))

Assim:

- u^2 + 1 = - (u^2 - 1) = - ( u^2 - 1^2 ) = - ( u + 1 ) ( u - 1 )

Assim:

(- (u + 1) (u - 1))^3 = (- 1)^3 (u + 1)^3 (u - 1)^3 = - (u + 1)^3 (u - 1)^3

Inserindo na integral:

int sqrt(- ((u + 1)^3 (u - 1)^3)/(- ( u - 1 ))) d u = int sqrt(- ((u + 1)^3 (u - 1)^2)/(- 1)) d u = int sqrt((u + 1)^3 (u - 1)^2) d u

Separando os radicais:

int sqrt((u + 1)^3) * sqrt((u - 1)^2) d u = int (u + 1)^((3)/(2)) * (u - 1) d u

Ajustando os limites de integral:

u = s e n ( x )

u a = s e n (pi) = 0

u b = s e n ((5 pi)/(6)) = (1)/(2)

Assim:

int_((1)/(2))^0 (u + 1)^((3)/(2)) * (u - 1) d u

Utilizando a propriedade:

int_a^b f (x) d x = - int_b^a f (x) d x

- int_0^((1)/(2)) (u - 1) (u + 1)^((3)/(2)) d u

Passo 3

Utilziando a integração por partes: ada bdb

a = u - 1

d a = 1 d u

d b = (u + 1)^((3)/(2))

b = int (u + 1)^((3)/(2)) d u = (2)/(5) (u + 1)^((5)/(2)) + C

Assim:

int a d b = a b - int d a b

Assim:

int (u - 1) (u + 1)^((3)/(2)) d u = (u - 1) ((2)/(5) (u + 1)^((5)/(2))) - int (2)/(5) (u + 1)^((5)/(2)) d u

Assim:

- [( u - 1 ) ( (2)/(5) (u + 1)^((5)/(2)) - 5 * (4)/(35) (u + 1)^((7)/(2))]_0^((1)/(2)) = - [(u - 1) ((2)/(5) (u + 1)^((5)/(2))) - (4)/(7) (u + 1)^((7)/(2))]_0^((1)/(2)) =

Assim:

- [(1)/(5) (2 (u - 1) (u + 1)^((5)/(2)) - (4)/(7) (u + 1)^((7)/(2)))]_0^((1)/(2))

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

- {(1)/(5) [(2 ((1)/(2) - 1) ((1)/(2) + 1)^((5)/(2)) - (4)/(7) ((1)/(2) + 1)^((7)/(2))) - (2 (0 - 1) (0 + 1)^((5)/(2)) - (4)/(7) (0 + 1)^((7)/(2)))]}

Resolvendo as operações:

- {(1)/(5) [(- 1 ((3)/(2))^((5)/(2)) - (4)/(7) ((3)/(2))^((7)/(2))) - (- 2 (1)^((5)/(2)) - (4)/(7) (1)^((7)/(2)))]}

- {(1)/(5) [(- ((3)/(2))^((5)/(2)) - (4)/(7) ((3)/(2))^((7)/(2))) - (- 2 - (4)/(7))]}

- {(1)/(5) [(- ((3)/(2))^((5)/(2)) - (4)/(7) ((3)/(2))^((7)/(2))) - (- (18)/(7))]}

Multiplicando por (1)/(5)

- {[(- (1)/(5) ((3)/(2))^((5)/(2)) - (1)/(5) * (4)/(7) ((3)/(2))^((7)/(2))) - (1)/(5) (- (18)/(7))]} = - {[(- (1)/(5) ((3)/(2))^((5)/(2)) - (4)/(35) ((3)/(2))^((7)/(2))) + (18)/(35)]}

Fazendo os cálculos e multiplicações:

(1)/(5) ((3)/(2))^((5)/(2)) + (4)/(35) ((3)/(2))^((7)/(2)) - (18)/(35)

Resposta

(1)/(5) ((3)/(2))^((5)/(2)) + (4)/(35) ((3)/(2))^((7)/(2)) - (18)/(35)

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