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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 1p

1.Calcule.

int (x)/([[1 + 4 x^2]]) d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 1 + 4 x^2 de u :

1 + 4 x^2 = u

Derivaremos cada membro da equação abaixo:

8 x d x = d u

Isolando x d x , temos:

x d x = (d u)/(8)

Passo 2

Temos todos os “integrantes “ da integral em função de u, agora podemos substituir, para termos a integral em função de u:

int (x d x)/([[1 + 4 x^2]]) = int (d u)/(8 u)

Colocando o a fração (1)/(8) na frente da integral, por ser uma constante, temos:

int (x)/([[1 + 4 x^2]]) d x = int (d u)/(8 u) = (1)/(8) int (d u)/(u)

Passo 3

Lembrando que a integral de int (1)/(u) d u = ln [[| u | + c]] , teremos que:

(1)/(8) int (1)/(u) d u = (1)/(8) ln [[| u | + c]]

E por fim, substituiremos u por 1 + 4 x^2 para obtermos a resposta:

Resposta

int (x)/([[1 + 4 x^2]]) d x = (1)/(8) ln | 1 + 4 x^2 | + c

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