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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 36

Resolve a integral abaixo:

36 –

int sec^3 x t g^3 x d x

Passo 1

int sec^3 x t g^3 x d x

Seja pela forma da trogonometria:

sec x = (1)/(cos x) e t g x = (s e n (x))/(cos ( x ))

int ((1)/(cos x))^3 ((s e n (x))/(cos (x)))^3 d x = int ((1)/(cos ( x )) * (s e n (x))/(cos (x)))^3 d x = int ((s e n (x))/(cos^2 x))^3 d x

Resolvendo a potência temos:

int (((s e n (x))^3)/((cos^2 ( x ))^3)) d x = int ((s e n^3 x)/(cos^6 x)) d x

Passo 2

Utilizando o método de substituição udu:

u = cos x

d u = - s e n x

d x = (1)/(d u) = - (1)/(s e n x)

int (s e n^3 x)/(u^6) * - (1)/(s e n x) d u = int - (s e n^3 x)/(u^6 * s e n x) d u = int - (s e n^2 x)/(u^6) d u

Dado a identidade trigonométrica: s e n^2 x = 1 - cos^2 x

int - (1 - cos^2 x)/(u^6) d u = int - (1 - u^2)/(u^6) d u = - int (1 - u^2)/(u^6) d u

Separando as frações, teremos:

(1)/(u^6) - (u^2)/(u^6)

- int (1)/(u^6) - (u^2)/(u^6) d u

- int u^(- 6) - u^(2 - 6) d u = - int u^(- 6) - u^(- 4) d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

- ((u^(- 6 + 1))/(- 6 + 1) - (u^(- 4 + 1))/(- 4 + 1)) + c

Resolvendo os cálculos e multiplicando a operação por -, teremos:

(u^(- 5))/(5) - (u^(- 3))/(3) + c = (1)/(5) u^(- 5) - (1)/(3) u^(- 3) + c = (1)/(5) * (1)/(u^5) - (1)/(3) * (1)/(u^3) + c

Subsituindo, dado u = cos x

(1)/(5) * (1)/(cos^5 x) - (1)/(3) * (1)/(cos^3 x) + c

Dado:

(1)/(cos x) = sec x

Substituindo:

(1)/(5) sec^5 x - (1)/(3) sec^3 x + c

Resposta

(1)/(5) sec^5 x - (1)/(3) sec^3 x + c

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