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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 43

Resolve a integral abaixo:

43 –

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) csc^4 theta d theta

Passo 1

Dada a fórmula:

int csc^n theta = - (cos x csc^(n - 1) x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int csc^(n - 2) x d x

Substituindo na Integral e considerando ela como indefinda:

int csc^4 theta d theta = - (cos theta csc^3 theta)/(3) + (2)/(3) int csc^2 theta d theta

Sendo a integral:

int csc^2 theta = - c o t ( theta )

Subsituindo na fórmula:

int csc^4 theta d theta = - (cos theta csc^3 theta)/(3) + (2)/(3) (- cot (theta)) + c

Passo 2

Resolvendo a multiplicação da inegral:

- (cos theta csc^3 theta)/(3) - (2 c o t ( theta ))/(3) + c

Resolvendo integral em seus limites:

[- (cos theta csc^3 theta)/(3)]_(pi // 4)^(pi // 2) + c = - (cos ((pi)/(2)) csc^3 ((pi)/(2)))/(3) + c - [- (cos ((pi)/(4)) csc^3 ((pi)/(4)))/(3)] + c = 0 -

Substituindo nos limites:

- [(cos ((pi)/(2)) csc^3 ((pi)/(2)))/(3) - (2 cot ((pi)/(2)))/(3)] + c - [- (cos ((pi)/(4)) csc^3 ((pi)/(4)))/(3) - (2 cot ((pi)/(4)))/(3) + c]

Passo 3

Dado:

cos ((pi)/(2)) = 0 ; cos ((pi)/(4)) = (sqrt(2))/(2) ; csc ((pi)/(2)) = 1 ; csc^3 ((pi)/(4)) = 2 sqrt(2) ; cot ((pi)/(2)) = 0 ; cot ((pi)/(4)) = 1

Substituindo nos limites temos:

- [(0 * 1)/(3) - (2 * 0)/(3)] + c - [- (((2 sqrt(2))/(2)) * sqrt(2))/(3) - (2 * 1)/(3) + c]

Resolvendo a operação temos:

c - [- (((2 sqrt(2) * sqrt(2)))/(2))/(3) - (2)/(3) + c] = c - [((4)/(2))/(3) - (2)/(3) + c] = c - [- (2)/(3) - (2)/(3) + c] = c + (2)/(3) + (2)/(3) - c = (4)/(3)

Resposta

(4)/(3)

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