a) Resolvendo a equação para d y d x , mostre que as equações das trajetórias do pêndulo sem amortecimento do Problema 19 podem ser escritas na forma y 2 2 + ω 2 1 - c o s x = ci onde c é a constante de integração.b) Multiplique a Eq. (i) por m L 2 e depois expresse o resultado em termos de θ para obter m L 2 2 d θ d t 2 + m g L 1 - c o s θ = E i i onde E = m L 2 c . c) Mostre que o primeiro termo na Eq (ii) é a energia cinética dos pêndulo e que o segundo termo é a eergia potencial devida à gravidade. Logo, a energia total E do pêndulo pe constante ao longo de qualquer trajetória; seu valor é determinado pelas condições iniciais.

Enunciado

a) A trajetória do sistema no problema 19 são soluções da equação diferencial

que pode ser escrita como. O resultado da EDO é exato, com

Integrando a primeira equação nós encontramos que Isso nos da que

Comparando as derivadas parciais nós obtemos . Logo as soluções são as curvas de nível da função.

Adicionando uma constante arbitraria, digamos a função não muda a natureza das curvas de nível. Logo, a trajetória pode ser escrita como

b) Multiplicando por e revertendo para a variável física original, nós obtemos

Como , a equação pode ser escrita como

onde

c) A velocidade absoluta do ponto é dado por

A enerfica cinética é

Escolhendo o ponto de repouso como o nível de zero energia potencial, a energia potencial gravitacional do ponto é

Isso nos da que a energia total, é uma constante ao longo da trajetória.

Ei, a resposta está no passo a passo :)