a) Resolvendo a equação para dy / dx , mostre que as equações das trajetórias do pêndulo sem amortecimento do Problema 19 podem ser escritas na forma

(y^2 / 2) + (ω^2 * (1 - cos x)) = c i

onde c é a constante de integração.

b) Multiplique a Eq. (i) por m = L^2 e depois expresse o resultado em termos de theta para obter

m * L^2 * (dθ / dt)^2 + m * g * L * (1 - cosθ) = E[i]

onde E = m * L^2 * c

c) Mostre que o primeiro termo na Eq (ii) é a energia cinética dos pêndulo e que o segundo termo é a eergia potencial devida à gravidade. Logo, a energia total E do pêndulo pe constante ao longo de qualquer trajetória; seu valor é determinado pelas condições iniciais.

Passo 1

a) A trajetória do sistema no problema 19 são soluções da equação diferencial

d y d x = - ω 2 s e n x y

que pode ser escrita como   ω 2 s e n x   d x + y   d y = 0 . O resultado da EDO é exato, com

∂ H ∂ x = ω 2 s e n x   e   ∂ H ∂ y = y

Integrando a primeira equação nós encontramos que H x , y = - ω 2 c o s x + f y . Isso nos da que

∂ H ∂ y = f ' y .

Comparando as derivadas parciais nós obtemos f y = y 2 2 + C . Logo as soluções são as curvas de nível da função.

H x , y = - ω 2 c o s x + y 2 2

Adicionando uma constante arbitraria, digamos ω 2 ,   a função H ( x , y ) não muda a natureza das curvas de nível. Logo, a trajetória pode ser escrita como

1 2 y 2 + ω 2 1 - c o s x = c

Passo 2

b) Multiplicando por m L 2 e revertendo para a variável física original, nós obtemos

m L 2 2 d θ d t 2 + m L 2 ω 2 1 - c o s θ = m L 2 c

Como ω 2 = g L , a equação pode ser escrita como

m L 2 2 d θ d t 2 + m g L 1 - c o s θ = E

onde E = m L 2 c

Passo 3

c) A velocidade absoluta do ponto é dado por

v = L d θ d t .

A enerfica cinética é

T = m v 2 2

Escolhendo o ponto de repouso como o nível de zero energia potencial, a energia potencial gravitacional do ponto é

V = m g L 1 - c o s θ

Isso nos da que a energia total, T + V é uma constante ao longo da trajetória.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados