Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 20
a) Resolvendo a equação para , mostre que as equações das trajetórias do pêndulo sem amortecimento do Problema 19 podem ser escritas na forma
onde é a constante de integração.
b) Multiplique a Eq. (i) por e depois expresse o resultado em termos de para obter
onde
c) Mostre que o primeiro termo na Eq (ii) é a energia cinética dos pêndulo e que o segundo termo é a eergia potencial devida à gravidade. Logo, a energia total do pêndulo pe constante ao longo de qualquer trajetória; seu valor é determinado pelas condições iniciais.
Passo 1
a) A trajetória do sistema no problema 19 são soluções da equação diferencial
que pode ser escrita como. O resultado da EDO é exato, com
Integrando a primeira equação nós encontramos que Isso nos da que
Comparando as derivadas parciais nós obtemos . Logo as soluções são as curvas de nível da função.
Adicionando uma constante arbitraria, digamos a função não muda a natureza das curvas de nível. Logo, a trajetória pode ser escrita como
Passo 2
b) Multiplicando por e revertendo para a variável física original, nós obtemos
Como , a equação pode ser escrita como
onde
Passo 3
c) A velocidade absoluta do ponto é dado por
A enerfica cinética é
Escolhendo o ponto de repouso como o nível de zero energia potencial, a energia potencial gravitacional do ponto é
Isso nos da que a energia total, é uma constante ao longo da trajetória.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)