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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.6 - Ex. 11

r é uma reta que passa pelo ponto 1 ,   2 e intercepta os eixos nos pontos A = a ,   0 e B = 0 ,   b , com a > 0 e b > 0 . Determine r de modo que a distância de A a B seja a menor possível.

Passo 1

Pessoal, vamos escrever a equação r assim:

y = m x + n

onde queremos determinar os coeficientes m e n .

Já sabemos que a reta passa por três pontos: 0 ,   b , a ,   0 e ( 1 ,   2 ) , então vamos substituí-los na equação de r :

b = m 0 + n ⇒ n = b

0 = m a + b ⇒ m = - b a

2 = - b a 1 + b ⇒ b = 2 a a - 1

Passo 2

Como queremos minimizar a distância de A a B , vamos escrever a fórmula da distância entre dois pontos para A = a ,   0 e B = 0 ,   b :

d A B = 0 - a 2 + b - 0 2 = a 2 + b 2

Porém, já achamos b em função de a no passo anterior:

d A B = a 2 + 2 a a - 1 2

Se trabalharmos apenas com o que está dentro da raiz quadrada, tentando minimizar essa expressão, também estaremos minimizando a raiz quadrada que representa a distância d A B .

Logo, nosso objetivo é minimizar a função f a :

f a = a 2 + 2 a a - 1 2

Passo 3

Então, vamos derivar a função e igualar a zero:

f ' a = 2 a + 2 2 a a - 1 2 a - 1 - 2 a 1 a - 1 2 = 2 a - 8 a a - 1 3

2 a - 8 a a - 1 3 = 0

a - 1 3 = 4

a = 4 3 + 1

Portanto, a = 4 3 + 1 minimiza a função f a , e também a distância d A B .

Passo 4

Obtemos também o valor de b correspondente:

b = 2 a a - 1 = 2 4 3 + 1 4 3 + 1 - 1 = 2 4 3 + 1 4 3

E assim, os coeficientes m e n da reta r serão:

m = - b a = - 2 4 3 + 1 4 3 4 3 + 1 = - 8 4 3 = - 2 3

n = b = 2 4 3 + 1 4 3 = 2 + 2 3

Então, a reta r terá a seguinte equação:

y = - 2 3 x + 2 + 2 3

Resposta

y = - 2 3 x + 2 + 2 3

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