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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 127

O retângulo apresentado na figura possui um lado no eixo y positivo, um lado no eixo x positivo e seu vértice superior direito na curva y = e - x 2 . Que dimensões dão ao retângulo a maior área possível, e qual é essa área?

Passo 1

Para o vértice genérico pertencente a curva, temos as coordenadas:

( x , e - x 2 )

Portanto, a expressão da área A do retângulo é dada por:

A = x . e - x 2

Passo 2

A fim de maximizar a expressão da área, vamos derivar e igualar a zero:

A ' = x . e - x 2 ' = 1 . e - x 2 + x . - 2 x . e - x 2 = 0

e - x 2 1 - 2 x 2 = 0

x 2 = 1 2

x = 2 2

Tendo o valor de x, podemos encontrar o valor de y:

y = e - 1 2 = 1 e

Passo 3

Logo, o valor da maior área possível é:

A = 2 2 . 1 e = 1 2 e = 0,43   u . a .

Resposta

x = 2 2

y = 1 e

A = 1 2 e = 0,43   u . a .

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