Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 34
Um retângulo está inscrito numa circunferência de raio dado. Expresse a área do retângulo em função de um dos lados do retângulo.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar uma expressão para a área do retângulo que está inscrito numa circunferência de raio . Vamos fazer um esboço pra entender melhor a figura, olha só:
Nós queremos encontrar uma expressão para a área em função de um dos lados do retângulo, e . Pra isso, vamos usar a fórmula da área do retângulo, que é base vezes altura, ou seja:
Onde é a base e é a altura. Com isso, vamos deixar em função de , usando o teorema de Pitágoras na diagonal do retângulo e substituindo na fórmula de área.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar deixando em função de para substituir na equação de . Para isso vamos usar Pitágoras no triângulo que é formado pelos lados dos retângulo e sua diagonal:
Aqui podemos perceber que é diagonal do retângulo é o diâmetro da circunferência. Ou seja, é duas vezes o raio da circunferência, assim vamos substituir e isolar o termo :
Isolando , temos:
Passo 3
Pronto, agora vamos substituir de volta na fórmula da área que vimos no passo :
Note que a área está em função de apenas um dos lados do retângulo (no caso ).
Valeu, galera. Até a próxima! 😉