Um retângulo está inscrito numa circunferência de raio r dado. Expresse a área A do retângulo em função de um dos lados do retângulo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma expressão para a área do retângulo que está inscrito numa circunferência de raio r . Vamos fazer um esboço pra entender melhor a figura, olha só:

Nós queremos encontrar uma expressão para a área A em função de um dos lados do retângulo, x e y . Pra isso, vamos usar a fórmula da área do retângulo, que é base vezes altura, ou seja:

A = x ∙ y

Onde x é a base e y é a altura. Com isso, vamos deixar x em função de y , usando o teorema de Pitágoras na diagonal do retângulo e substituindo na fórmula de área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar deixando x em função de y para substituir na equação de A . Para isso vamos usar Pitágoras no triângulo que é formado pelos lados dos retângulo e sua diagonal:

x 2 + y 2 = d 2

Aqui podemos perceber que é diagonal do retângulo é o diâmetro da circunferência. Ou seja, d é duas vezes o raio da circunferência, assim vamos substituir e isolar o termo x :

x 2 + y 2 = 2 r 2

x 2 + y 2 = 4 r 2

Isolando x , temos:

x = 4 r 2 - y 2

Passo 3

Pronto, agora vamos substituir de volta na fórmula da área que vimos no passo 1 :

A = x ∙ y

A = y 4 r 2 - y 2

Note que a área está em função de apenas um dos lados do retângulo (no caso y ).

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

A = y 4 r 2 - y 2

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