Entre os retângulos de perímetro 2 p dado, qual o de área máxima?

Passo 1

Vamos supor x e y como os lados do retângulo, assim temos que o perímetro é:

2 x + 2 y = 2 p ↔ x + y = p

Agora a área do retângulo é dada pela fórmula:

A = x y

Vamos então isolar o y da expressão do perímetro e substituir na fórmula da área:

y = p - x

A = x y = x p - x = x p - x 2

Passo 2

Vamos analisar o gráfico de A = x p - x 2 , ele á uma parábola com concavidade voltada para baixo, vamos achar a coordenada x do vértice da parábola, pois nele temos o valor máximo para a área.

A coordenada é dada pela fórmula:

x v = - b 2 a

Temos que:

a = - 1 e b = p

Substituindo ficamos com:

x v = - b 2 a = - p 2 - 1 = p 2

Passo 3

Substituindo de volta na fórmula do perímetro para achar o y :

y = p - x = p - p 2 = p 2

Temos então que os lados são p 2 e p 2 , assim temos um quadrado de lado p 2 .

Resposta

Um quadrado.

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