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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 49

Resolva os problemas de valor inicial nos Exercícios 49-52 para y como uma função de x .

x d y d x = x 2 - 4 ,   x ≥ 2 ,   y 2 = 0

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é passar o d x e o x para o outro lado.

∫ d y = ∫ x 2 - 4 x d x

Integrando o lado esquerdo:

y = ∫ x 2 - 4 x d x

Passo 2

Vamos agora fazer uma mudança de variável trigonométrica:

x = 2 sec ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Colocando na integral:

y = ∫ x 2 - 4 x d x = ∫ 2 sec ⁡ θ 2 - 4 2 sec ⁡ θ 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ - 4 tan ⁡ θ d θ

y = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ - 1 tan ⁡ θ d θ = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 tan ⁡ θ d θ

Lembrando das relações trigonométricas:

tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

Substituindo na equação:

y = 2 ∫ tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 2 ∫ tan 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Como tan 2 ⁡ θ não tem integral definida, vamos utilizar a mesma relação trigonométrica:

y = 2 ∫ tan 2 ⁡ θ d θ = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Separando em duas integrais:

y = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ - 2 ∫ d θ

Calculando a integral:

y = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ - 2 ∫ d θ = 2 tan ⁡ θ - 2 θ + C

Passo 4

Revertendo para a variável original:

y = 2 tan ⁡ θ - 2 θ + C = 2 tan ⁡ arcsec ⁡ x 2 - 2 arcsec ⁡ x 2 + C

y = 2 x 2 2 - 1 - 2 arcsec ⁡ x 2 + C = 2 x 2 4 - 1 - 2 arcsec ⁡ x 2 + C

y = x 2 - 4 - 2 arcsec ⁡ x 2 + C

Depois vamos substituir o ponto dado na equação encontrada:

y 2 = 0 = 2 2 - 4 - 2 arcsec ⁡ 2 2 + C

C = 2 arcsec ⁡ 1 - 4 - 4 = 0

Prontinho!!!

Resposta

y = x 2 - 4 - 2 arcsec ⁡ x 2

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