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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 201b

Sendo s e n alpha = (2)/(3) , com 0 < a < pi , calcule cos ((pi)/(4) + alpha)

Passo 1

Vamos começar reescrevendo a expressão que é pedida, observando que temos um cosseno da soma, ou seja: cos ((pi)/(4) + alpha) = cos (pi)/(4) * cos alpha - s e n (pi)/(4) * s e n alpha Substituindo cos (pi)/(4) = (sqrt(2))/(2) e s e n (pi)/(4) = (sqrt(2))/(2) , ficaremos com:

cos ((pi)/(4) + alpha) = (sqrt(2))/(2) * cos alpha - (sqrt(2))/(2) * s e n alpha

Passo 2

Como o s e n alpha é dado no enunciado, nosso problema agora é descobrir quem é cos alpha , por sorte temos a relação fundamental da trigonometria que, manipulada, nos diz que: cos alpha = sqrt(1 - s e n^2 alpha) Substituindo s e n alpha = (2)/(3) , ficaremos assim: cos alpha = sqrt(1 - ((2)/(3))^2) cos alpha = sqrt(1 - (4)/(9)) cos alpha = sqrt((5)/(9)) cos alpha = (sqrt(5))/(3)

Passo 3

Agora que descobrimos cos alpha , basta substituir os dados na expressão lá do passo 1 e encontraremos nossa resposta: cos ((pi)/(4) + alpha) = (sqrt(2))/(2) * cos alpha - (sqrt(2))/(2) * s e n alpha cos ((pi)/(4) + alpha) = (sqrt(2))/(2) * (sqrt(5))/(3) - (sqrt(2))/(2) * (2)/(3) cos ((pi)/(4) + alpha) = (sqrt(10))/(6) - (2 sqrt(2))/(6) cos ((pi)/(4) + alpha) = (sqrt(10) - 2 sqrt(2))/(6)

Resposta

cos ((pi)/(4) + alpha) = (sqrt(10) - 2 sqrt(2))/(6)

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