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Enunciado

Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar- Ed: 9º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 219

Sabendo que cos x = (24)/(25) e 0 < x < (pi)/(2) , calcule s e n (x)/(4) , cos (x)/(4) e t g (x)/(4)

Passo 1

Como já temos o cos x = (24)/(25) , podemos inicialmente calcular cos (x)/(2) , para posteriormente calcularmos s e n (x)/(4) , cos (x)/(4) e t g (x)/(4) cos (x)/(2) = sqrt((1 + (24)/(25))/(2)) = (7)/(5 sqrt(2)) = (7 sqrt(2))/(10)

Tomamos a raiz positiva pois a restrição que nos foi dada é de que o x pertence ao primeiro quadrante.

Passo 2

Agora vamos calcular s e n (x)/(4) .

s e n (x)/(2) = +- sqrt((1 - cos x)/(2))

s e n (x)/(4) = +- sqrt((1 - cos (x)/(2))/(2))

s e n (x)/(4) = sqrt((1 - (7 sqrt(2))/(10))/(2)) = sqrt((10 - 7 sqrt(2))/(20))

Passo 3

Aqui vamos calcular c o s (x)/(4) .

cos (x)/(2) = +- sqrt((1 + cos x)/(2))

cos (x)/(4) = +- sqrt((1 + cos (x)/(2))/(2))

cos (x)/(4) = sqrt((1 + (7 sqrt(2))/(10))/(2)) = sqrt((10 + 7 sqrt(2))/(20))

Passo 4

Por fim, vamos calcular t g (x)/(4) .

t g (x)/(2) = +- sqrt((1 - cos x)/(1 + cos x))

t g (x)/(4) = +- sqrt((1 - cos (x)/(2))/(1 + cos (x)/(2)))

t g (x)/(4) = sqrt((1 - (7 sqrt(2))/(10))/(1 + (7 sqrt(2))/(10))) = sqrt((10 - 7 sqrt(2))/(10 + 7 sqrt(2)))

Resposta

s e n (x)/(4) = sqrt((10 - 7 sqrt(2))/(20))

cos (x)/(4) = sqrt((10 + 7 sqrt(2))/(20))

t g (x)/(4) = sqrt((10 - 7 sqrt(2))/(10 + 7 sqrt(2)))

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