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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.16 - Ex. 15

Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f x = - x 2 e de g x = 1 2 + x 2 . Determine r .

Passo 1

Devemos lembrar que não necessariamente, o ponto de tangencia será o mesmo nas duas funções.

Vamos chamar de p , f p o ponto de tangência em f e q , g q o ponto de tangência em g .

Como procuramos a equação de uma reta, queremos uma função do tipo:

y = a x + b

Se os pontos de tangência pertencem a r , temos:

f p = a p + b

- p 2 = a p + b

E também:

g q = a q + b

q 2 + 1 2 = a q + b

Passo 2

Além disso, o coeficiente angular da reta tangente é a derivada no ponto de tangência.

f ' p = g ' q = a

- 2 p = 2 q = a

Assim,

q = a 2

E

p = - a 2

Passo 3

Substituindo nas equações - p 2 = a p + b e q 2 + 1 2 = a q + b , temos o seguinte sistema:

- p 2 = a p + b q 2 + 1 2 = a q + b

- - a 2 2 = a - a 2 + b a 2 2 + 1 2 = a a 2 + b

- a 2 4 = - a 2 2 + b a 2 4 + 1 2 = a 2 2 + b

- a 2 4 + a 2 2 = b a 2 4 - a 2 2 = b - 1 2

a 2 4 = b - a 2 4 = b - 1 2

a 2 = 4 b - 4 b 4 = b - 1 2

2 b = 1 2

b = 1 4

a 2 = 4 b = 4 ⋅ 1 4 = 1

a = ± 1

Assim, se na reta y = a x + b temos dois valores possíveis de a , temos duas retas:

y = - x + 1 4

y = x + 1 4

Logo, as retas procuradas são y = - x + 1 4 e y = x + 1 4 .

Resposta

As retas procuradas são y = - x + 1 4 e y = x + 1 4 .

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