Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.8 - Ex. 67
Seja a reta tangente à parábola no ponto . O ângulo de inclinação de é o ângulo que faz com a direção positiva do eixo . Calcule com a precisão de um grau.
Passo 1
Faaala, galerinha bonita.
Essa a questão dá a parábola e pede pra encontrarmos o ângulo que a reta tangente a ela no ponto faz com o eixo .
Pra isso, vamos precisar lembrar que a inclinação da reta é dada pela derivada da função. A partir dessa inclinação, conseguimos encontrar o ângulo!
Mas, como?
Quando falamos “inclinação”, queremos dizer a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo . Anota isso aí!
Sabendo a inclinação (tangente do ângulo), conseguimos descobrir que ângulo é esse.
Vamos ver juntos como prosseguir!
Passo 2
Beleza! Vamos calcular a derivada da nossa parábola com a equação de definição de derivada:
Sabemos que:
E podemos dizer que:
Aplicando no limite, temos:
Abrindo os produtos notáveis:
Agora, vamos fazer as simplificações necessárias:
Aplicando o limite, descobrimos que:
Como queremos a inclinação no ponto , vamos encontrar a derivada quando :
Boa! Agora que temos a inclinação, vamos tentar encontrar o ângulo!
Passo 3
Até agora, conseguimos descobrir que:
Ou seja, sabemos que a inclinação da reta é igual a .
Lembra do que conversamos lá no primeiro passo? A inclinação da reta é, na verdade, a tangente do ângulo que queremos encontrar. Ou seja:
Dessa maneira, podemos dizer que:
Pra calcularmos esse valor, precisamos usar uma calculadora mesmo. Calculando, encontramos o seguinte:
Uhul! Conseguimos fechar!
Partiu próxima!