Seja l a reta tangente à parábola y = x 2 no ponto ( 1,1 ) . O ângulo de inclinação de l é o ângulo ϕ que l faz com a direção positiva do eixo x . Calcule ϕ com a precisão de um grau.

Enunciado

Faaala, galerinha bonita.

Essa a questão dá a parábola e pede pra encontrarmos o ângulo que a reta tangente a ela no ponto faz com o eixo .

Pra isso, vamos precisar lembrar que a inclinação da reta é dada pela derivada da função. A partir dessa inclinação, conseguimos encontrar o ângulo!

Mas, como?

Quando falamos “inclinação”, queremos dizer a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo . Anota isso aí!

Sabendo a inclinação (tangente do ângulo), conseguimos descobrir que ângulo é esse.

Vamos ver juntos como prosseguir!

Beleza! Vamos calcular a derivada da nossa parábola com a equação de definição de derivada:

Sabemos que:

E podemos dizer que:

Aplicando no limite, temos:

Abrindo os produtos notáveis:

Agora, vamos fazer as simplificações necessárias:

Aplicando o limite, descobrimos que:

Como queremos a inclinação no ponto , vamos encontrar a derivada quando :

Boa! Agora que temos a inclinação, vamos tentar encontrar o ângulo!

Até agora, conseguimos descobrir que:

Ou seja, sabemos que a inclinação da reta é igual a .

Lembra do que conversamos lá no primeiro passo? A inclinação da reta é, na verdade, a tangente do ângulo que queremos encontrar. Ou seja:

Dessa maneira, podemos dizer que:

Pra calcularmos esse valor, precisamos usar uma calculadora mesmo. Calculando, encontramos o seguinte:

Uhul! Conseguimos fechar!

Partiu próxima!