Seja l a reta tangente à parábola y = x^2 no ponto (1,1) . O ângulo de inclinação de l é o ângulo phi que l faz com a direção positiva do eixo x . Calcule phi com a precisão de um grau.

Passo 1

Faaala, galerinha bonita.

Essa a questão dá a parábola y = x 2 e pede pra encontrarmos o ângulo que a reta tangente a ela no ponto 1,1 faz com o eixo x .

Pra isso, vamos precisar lembrar que a inclinação da reta é dada pela derivada da função. A partir dessa inclinação, conseguimos encontrar o ângulo!

Mas, como?

Quando falamos “inclinação”, queremos dizer a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x . Anota isso aí!

Sabendo a inclinação (tangente do ângulo), conseguimos descobrir que ângulo é esse.

Vamos ver juntos como prosseguir!  

Passo 2

Beleza! Vamos calcular a derivada da nossa parábola com a equação de definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ��� f x + h - f x h

Sabemos que:

f x = y = x 2

E podemos dizer que:

f x + h = x + h 2

Aplicando no limite, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 - x 2 h

Abrindo os produtos notáveis:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 - x 2 h

Agora, vamos fazer as simplificações necessárias:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h

Aplicando o limite, descobrimos que:

f ' x = 2 x

Como queremos a inclinação no ponto 1,1 , vamos encontrar a derivada quando x = 1 :

f ' 1 = 2 ⋅ 1 = 2

Boa! Agora que temos a inclinação, vamos tentar encontrar o ângulo!

Passo 3

Até agora, conseguimos descobrir que:

f ' 1 = 2

Ou seja, sabemos que a inclinação da reta é igual a 2 .

Lembra do que conversamos lá no primeiro passo? A inclinação da reta é, na verdade, a tangente do ângulo que queremos encontrar. Ou seja:

tg ⁡ ϕ = 2

Dessa maneira, podemos dizer que:

ϕ = arctg ⁡ 2

Pra calcularmos esse valor, precisamos usar uma calculadora mesmo. Calculando, encontramos o seguinte:

ϕ ≈ 63 °

Uhul! Conseguimos fechar!

Partiu próxima!

Resposta

ϕ = 63 °

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Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.sen(x + y) = 2x - 2y, (pi, pi)
Encontre f'(x) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f' .f(x) = arctg(x^2 - x)
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.y = x^3 - 3x + 1, (2,3)
Se a equação de uma reta tangente à curva f(x) em 4,3 passar pelo ponto 0,2 encontre f(4) e f'(4) .
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y = 4 x - 3 x 2 ,( 2 , - 4 )