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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9s

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(x + sen x)/(x - cos x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = x + sen x

e

g (x) = x - cos x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((x + sen x)/(x - cos x))^' = ((x + sen x)^' * (x - cos x) - (x + sen x) * (x - cos x) ')/((x - cos x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h^' (x) = (x + sen x)^' = x^(1 - 1) + cos x = x^0 + cos x = 1 + cos x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g^' (x) = (x - cos x)^' = x^(1 - 1) - (- sen (x)) = x^0 + sen x = 1 + sen x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((x + sen x)/(x - cos x))^' = ((x + sen x)^' * (x - cos x) - (x + sen x) * (x - cos x) ')/((x - cos x)^2) = ((1 + cos x) * (x - cos x) - (x + sen x) * (1 + sen x))/((x - cos x)^2) = (x - cos x + x cos x - cos^2 x - (x + x sen x + sen x + sen^2 x))/((x - cos x)^2) = (x - cos x + x cos x - cos^2 x - x - x sen x - sen x - sen^2 x)/((x - cos x)^2) = (- cos x + x cos x - cos^2 x - x sen x - sen x - sen^2 x)/((x - cos x)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (- cos x + x cos x - cos^2 x - x sen x - sen x - sen^2 x)/((x - cos x)^2)

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