São dados uma função f e os números n, a e b. Aproxime até quatro casas decimais a área da região limitada pela curva y = f(x) , pelo eixo x e as retas x = a e x = b fazendo o seguinte: divida o intervalo [a, b] em n subintervalos de Δx unidades de largura.

f(x) = sen(x) , a = pi / 6 , b = (5 * pi) / 6 , n = 8 , retângulos circunscritos.

Passo 1

A questão nos pede para calcular a área cinza, limitada pelas três curvas e o eixo x:

Devemos então, conforme pedido, utilizar retângulos circunscritos na região para realizar o cálculo.

Passo 2

É importante observar que a curva muda de concavidade no ponto x = π 2 . Desta maneira, deveremos dividir nosso cálculo da área em duas partes.

Como a nossa curva é crescente até o ponto x = π 2 , o valor máximo absoluto está no canto direito dos subintervalos. Ou seja, para a primeira parte do cálculo da área usaremos f x i .

E como a função é decrescente na segunda parte da curva, então o máximo absoluto ficará no canto esquerdo dos subintervalos, ou seja, usaremos f ( x i - 1 ) na segunda parte do cálculo.

Temos que:

A =   ∑ i = 1 n = 4 Δ x   f x i +   ∑ i = 5 n = 8 Δ x   f x i - 1

Sendo que:

Δ x = b - a n = 5 π 6 - π 6 8 = π 12

Δ x = 0,2618

Isto é, cada um dos 8 retângulos circunscritos possui 0,2618 de largura.

Passo 3

Podemos então calcular cada um dos x i e x i - 1 que serão utilizados no cálculo, e também seus f ( x i ) e f ( x i - 1 ) correspondentes.

Não esqueça de passar a sua calculadora para radiano! 😉

x i = a + ( i * Δ x )

x i - 1 = a + [ ( i - 1 ) * Δ x ]  

f x i = s e n ( x i )

f x i - 1 = s e n ( x i - 1 )

Podemos então calcular a área desejada:

A 1 =   ∑ i = 1 n = 4 Δ x   f x i

A 1 =   Δ x   ∑ i = 1 n = 4   f x i

A 1 =   Δ x * ( f x 1 + f x 2 + f x 3 + f x 4 )

A 1 =   0,2618 * 3,5391

A 1 =   0,9265

A 2 =   ∑ i = 5 n = 8 Δ x   f x i - 1

A 2 =   Δ x * ( f x 4 + f x 5 + f x 6 + f x 7 )

A 2 =   0,2618 * 3,5390

A 2 = 0,9265

Resposta

E por fim, a área total será a soma destas duas áreas que calculamos!

A = A 1 + A 2

A = 0,9265 + 0,9265

A = 1,8530

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados