Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 19

19. f ( t ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que g t ,   f t = 0 , para todo t . Suponha f 0 = 1 , ∂ g ∂ x 0,1 = 2 e ∂ g ∂ y 0,1 = 4 . Determine a equação da reta tangente a γ t = t ,   f t , no ponto γ 0 .

Passo 1

Na questão 18 o enunciado nos pede para demonstrar o seguinte: Se g ( t ) é diferenciável e g t ,   f t = 0 . Então, f ' x = - ∂ g ∂ x x ,   f x ∂ g ∂ y x ,   f x

Então vamos usar isso!

Passo 2

Como queremos determinar a equação da resta tangente, podemos achar o coeficiente angular e um ponto que pertence a reta. No ponto γ 0 , temos:

γ t = t ,   f t

Para t = 0 :

γ 0 = 0 ,   f 0

Mas o enunciado disse que f 0 = 1 . Logo,

γ 0 = 0,1

Passo 3

Agora que já achamos o ponto, basta acharmos o coeficiente angular. Lembra que o coeficiente angular é a derivada no ponto?! Então vamos usar a relação do Passo 1

f ' x = - ∂ g ∂ x x ,   f x ∂ g ∂ y x ,   f x

Para o ponto 0,1 → x = 0 . Assim,

f ' 0 = - ∂ g ∂ x 0 ,   f 0 ∂ g ∂ y 0 ,   f 0

Como f 0 = 1 :

f ' 0 = - ∂ g ∂ x 0 ,   1 ∂ g ∂ y 0 ,   1

Opa, mas o enunciado nos disse esses valores, logo:

f ' 0 = - 2 4 = - 1 2

Agora é só montar a equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0

Assim,

y - 1 = - 1 2 x - 0

Por fim,

y = - 1 2 x + 1

Resposta

y = - 1 2 x + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja F x , y , z = f x y , y z , z x . Mostre que x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ y + z ∂ F ∂ z = 0
Seja f ( x , y ) diferenciável e homogênea de grau λ no aberto A . Prove:a) a ∂ f ∂ x a t , b t + b ∂ f ∂ ya t , b t = λ t λ - 1 f ( a , b ) para todo t0 e para todo a , b ∈ A , como a t , b t ∈ A .b)