19. f(t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que g(t, f(t)) = 0 , para todo t . Suponha f(0) = 1 , ∂g/∂x(0,1) = 2 e ∂g/∂y(0,1) = 4 . Determine a equação da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)) , no ponto γ(0) .

Passo 1

Na questão 18 o enunciado nos pede para demonstrar o seguinte: Se g ( t ) é diferenciável e g t ,   f t = 0 . Então, f ' x = - ∂ g ∂ x x ,   f x ∂ g ∂ y x ,   f x

Então vamos usar isso!

Passo 2

Como queremos determinar a equação da resta tangente, podemos achar o coeficiente angular e um ponto que pertence a reta. No ponto γ 0 , temos:

γ t = t ,   f t

Para t = 0 :

γ 0 = 0 ,   f 0

Mas o enunciado disse que f 0 = 1 . Logo,

γ 0 = 0,1

Passo 3

Agora que já achamos o ponto, basta acharmos o coeficiente angular. Lembra que o coeficiente angular é a derivada no ponto?! Então vamos usar a relação do Passo 1

f ' x = - ∂ g ∂ x x ,   f x ∂ g ∂ y x ,   f x

Para o ponto 0,1 → x = 0 . Assim,

f ' 0 = - ∂ g ∂ x 0 ,   f 0 ∂ g ∂ y 0 ,   f 0

Como f 0 = 1 :

f ' 0 = - ∂ g ∂ x 0 ,   1 ∂ g ∂ y 0 ,   1

Opa, mas o enunciado nos disse esses valores, logo:

f ' 0 = - 2 4 = - 1 2

Agora é só montar a equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0

Assim,

y - 1 = - 1 2 x - 0

Por fim,

y = - 1 2 x + 1

Resposta

y = - 1 2 x + 1

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