19. e são funções diferenciáveis tais que , para todo . Suponha , e . Determine a equação da reta tangente a , no ponto .
Passo 1
Na questão 18 o enunciado nos pede para demonstrar o seguinte: Se é diferenciável e . Então,
Então vamos usar isso!
Passo 2
Como queremos determinar a equação da resta tangente, podemos achar o coeficiente angular e um ponto que pertence a reta. No ponto , temos:
Para :
Mas o enunciado disse que . Logo,
Passo 3
Agora que já achamos o ponto, basta acharmos o coeficiente angular. Lembra que o coeficiente angular é a derivada no ponto?! Então vamos usar a relação do Passo 1
Para o ponto . Assim,
Como :
Opa, mas o enunciado nos disse esses valores, logo:
Agora é só montar a equação da reta:
Assim,
Por fim,