Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 26
Seja diferenciável e homogênea de grau no aberto . Prove:
a) para todo e para todo , como .
b) (Relação de Euler) Conclua de (a) que
Passo 1
A questão diz que é uma função homogênea de grau e pede para provarmos uma relação. Para isso, você tem que lembrar que uma função homogênea satisfaz:
Derivando essa equação com relação , temos que
Como e , temos que
Assim, provamos que
Passo 2
No item (b) nós precisamos mostrar a relação de Euler. Para isso, vamos fazer e . Assim, do item anterior:
Assim,
Por outro lado, como é homogênea:
Logo,
Portanto,
Resposta
Demonstração.
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Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f x , y ea) x = t 2ey = 3 t .
Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .
Admita que, para todo x , y . x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0 . Mostre que g t = f t , 2 t ,t0 , é constante.
Admita que, para todo ( x , y ) , 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2 . Calculeg ' t , sendo g t = f 2 c o s t , s e n t .
A imagem da curva γ t = 2 t , t 2 , z t está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 . Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 )