Seja diferenciável e homogênea de grau no aberto . Prove:
a) para todo e para todo , como .
b) (Relação de Euler) Conclua de (a) que
Passo 1
A questão diz que é uma função homogênea de grau e pede para provarmos uma relação. Para isso, você tem que lembrar que uma função homogênea satisfaz:
Derivando essa equação com relação , temos que
Como e , temos que
Assim, provamos que
Passo 2
No item (b) nós precisamos mostrar a relação de Euler. Para isso, vamos fazer e . Assim, do item anterior:
Assim,
Por outro lado, como é homogênea:
Logo,
Portanto,
Resposta
Demonstração.