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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.4 - Ex. 41

Complete as identidades usando o método do triângulo (Figura 0.4 . 15 )

  1. cos ⁡ arc tg ⁡ x =   ?
  2. tg ⁡ arc cos ⁡ x =   ?
  3. sen ⁡ arc sec ⁡ x =   ?
  4. cotg ⁡ arc sec ⁡ x =   ?

Passo 1

Fala povo, tudo ok? Olha só a questão já ajuda bastante a gente. Da figura que ela fala, temos:

Note que dentro dela temos ângulos que já estão escritos em função dos lados! Portanto, pra resolvermos a questão, vai bastar olhar pro enunciado e escolher um triângulo que tenha esse ângulo escrito! Por exemplo, pra letra a , temos:

cos ⁡ arc  tg ⁡ x

E o triângulo c da figura tem o arco “ arc  tg ⁡ x ” escrito:

Pela figura, o cosseno desse ângulo vai ser o cateto adjacente a ele (a base do triângulo) sobre a hipotenusa:

cos ⁡ arc  tg ⁡ x = 1 1 + x 2

Pescou a ideia? Vamos fazer isso pras próximas letras então!

Passo 2

Letra b: tg ⁡ arc cos ⁡ x

Olhando pra figura, podemos usar o triângulo b :

Pela figura, a tangente desse ângulo vai ser o cateto oposto a ele (a base do triângulo) sobre o cateto adjacente (a altura do triângulo):

tg ⁡ arc cos ⁡ x = 1 - x 2 x

Boaa! Próxima letra!

Passo 3

Letra c e d , respectivamente: sen ⁡ arc sec ⁡ x ; cotg ⁡ arc sec ⁡ x

Agora a gente vai mudar o triângulo da figura pro triângulo d , afinal ele é o único com “ arc  sec ⁡ x ” escrito dentro. Dá uma olhada:

O seno desse ângulo vai ser o cateto oposto a ele (a altura do triângulo) sobre a hipotenusa:

sen ⁡ arc  sec ⁡ x = x 2 - 1 x

E como a cotangente é a inversa da tangente e a tangente depende de seno e cosseno, calculamos o cosseno também. Ele será o cateto adjacente (a base do triângulo) sobre a hipotenusa:

cos ⁡ arc sec ⁡ x = 1 x

Logo, a cotangente será:

cotg ⁡ arc tg ⁡ x = cos ⁡ arc sec ⁡ x sen ⁡ arc sec ⁡ x

cotg ⁡ arc tg ⁡ x = 1 x x 2 - 1 x

cotg ⁡ arc tg ⁡ x = 1 x ∙ x x 2 - 1

cotg ⁡ arc tg ⁡ x = 1 x 2 - 1

E nisso já respondemos as duas últimas letras visto que ambas usam o mesmo triângulo auxiliar!

Resposta

  1. cos ⁡ arc tg ⁡ x =   1 1 - x 2
  2. tg ⁡ arc cos ⁡ x =   1 - x 2 x
  3. sen ⁡ arc sec ⁡ x =   x 2 - 1 x
  4. cotg ⁡ arc sec ⁡ x =   1 x 2 - 1
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13.Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e da sua inversa.(b) y = 1 x - a