Encontre a fórmula para f^(-1)(x)

10 f(x) = (x + 1) / (x - 1)

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Seja:

y = x + 1 x - 1

Se a gente somar e subtrair 2 no numerador ao mesmo tempo, não mudamos nada, pois é como se tivéssemos adicionando zero! Olha a malandragem então:

y = x + 1 - 2 + 2 x - 1

y = x - 1 + 2 x - 1

y = x - 1 x - 1 + 2 x - 1

y = 1 + 2 x - 1

Subtraindo 1 dos dois lados, temos:

y - 1 = 1 - 1 + 2 x - 1

y - 1 = 2 x - 1

Multiplicando os dois lados por x - 1 , temos:

y - 1 x - 1 = 2 x - 1 x - 1

y - 1 x - 1 = 2

Dividindo os dois lados por y - 1 , temos:

y - 1 x - 1 y - 1 = 2 y - 1

x - 1 = 2 y - 1

Somando 1 nos dois lados, temos:

x - 1 + 1 = 2 y - 1 + 1

x = 2 y - 1 + y - 1 y - 1

x = y + 1 y - 1

Trocando x , y de lugar:

y = x + 1 x - 1

Nossa inversa será então:

f - 1 x = x + 1 x - 1

E gente olha que doido! A inversa é igual a função original! Isso acontece porque a função original já era simétrica em relação a y = x mesmo, então a sua inversa acaba ficando igual. Ó só o gráfico que bonito:

Resposta

f - 1 x = x + 1 x - 1

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