Encontre a fórmula para f^(-1)(x)

f(x) = (x + 1) / (x - 1)

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f (x)

f (y) = x

f^(- 1) (x) = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f^(- 1) (x)

Bora lá?

Passo 2

Seja:

y = (x + 1)/(x - 1)

Se a gente somar e subtrair 2 no numerador ao mesmo tempo, não mudamos nada, pois é como se tivéssemos adicionando zero! Olha a malandragem então:

y = (x + 1 - 2 + 2)/(x - 1)

y = (x - 1 + 2)/(x - 1)

y = (x - 1)/(x - 1) + (2)/(x - 1)

y = 1 + (2)/(x - 1)

Subtraindo 1 dos dois lados, temos:

y - 1 = 1 - 1 + (2)/(x - 1)

y - 1 = (2)/(x - 1)

Multiplicando os dois lados por (x - 1) , temos:

(y - 1) (x - 1) = (2)/(x - 1) (x - 1)

(y - 1) (x - 1) = 2

Dividindo os dois lados por (y - 1) , temos:

((y - 1) (x - 1))/(y - 1) = (2)/(y - 1)

x - 1 = (2)/(y - 1)

Somando 1 nos dois lados, temos:

x - 1 + 1 = (2)/(y - 1) + 1

x = (2)/(y - 1) + (y - 1)/(y - 1)

x = (y + 1)/(y - 1)

Trocando x , y de lugar:

y = (x + 1)/(x - 1)

Nossa inversa será então:

f^(- 1) (x) = (x + 1)/(x - 1)

E gente olha que doido! A inversa é igual a função original! Isso acontece porque a função original já era simétrica em relação a y = x mesmo, então a sua inversa acaba ficando igual. Ó só o gráfico que bonito:

Resposta

f^(- 1) (x) = (x + 1)/(x - 1)

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