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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 25

Segue da Lei da Gravitação Universal de Newton que a força gravitacional exercida pela Terra sobre um objeto varia com o inverso do quadrado de sua distância ao centro da Terra. Assim, o peso w ( x ) de um objeto está relacionado com sua distância x do centro da Terra por uma fórmula do tipo

w x = k x 2

Onde k   é uma constante de proporcionalidade que depende da massa do objeto.

  1. Use o fato e a hipótese de que a Terra seja uma esfera com um raio de 4000   m i l h a s para obter a fórmula w ( x ) usada no Exemplo 4.
  2. Encontre uma fórmula para peso w ( x ) de um satélite que está a x milhas da superfície da Terra, se seu peso na Terra for de 6000   I b .
  3. Qual é o trabalho necessário para elevar o satélite da superfície da Terra até uma posição orbital a 1000   m i l h a s de altura?

Passo 1

  1. O exemplo 4 diz que o astronauta pesa 150   I b na Terra, o que quer dizer que:

    2. w 4000 = 150   I b

    Usando essa informação podemos encontrar o k da fórmula do peso:

    w = k 4000 2 = 150 ∴ k = 2,4 ⋅ 10 9

    Logo a fórmula, para valores de x maiores que 4000 (fora da Terra), é:

    w x = 2,4 ⋅ 10 9 x 2

    Passo 2

  2. Podemos usar o mesmo raciocínio, só que agora w 4000 = 6000   I b

    3. w = k 4000 2 = 600 0 ∴ k = 9 , 6 ⋅ 10 10

    Logo a fórmula, para valores de x maiores que 4000 (fora da Terra), é:

    w x = 9,6 ⋅ 10 10 x 2

    Passo 3

  3. A força que realiza trabalho deve superar a força gravitacional. Podemos escrever:

F x = w ( x )

Ao elevar o satélite sua força gravitacional diminui, logo estamos trabalhando com uma força variável:

W = ∫ a b F x d x

A gente já tem a expressão para F ( x ) , vamos pensar agora nos extremos de integração. Queremos sair das superfície da Terra em x = 4000   para x = 4000 + 1000 = 5000   .

Logo nossa integral fica:

W = ∫ 4000 5000 9,6 ⋅ 10 10 x 2   d x = 480000 0   m i l h a s ⋅ I b = 2,534 ⋅ 10 10   p é s ⋅ I b

Resposta

w x a = 2,4 ⋅ 10 9 x 2

w x b = 9,6 ⋅ 10 10 x 2

W = 2,534 ⋅ 10 10   p é s ⋅ I b

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