50. Prove que se f for crescente em [a, b] e se g for crescente em [f(a), f(b)] , então, se g o f existir em [a, b] , g o f será crescente em [a, b] .

Passo 1

Temos uma função f num intervalo e outra função dentro da imagem de f . Precisamos provar que a função composta será crescente.

Passo 2

Vamos escolher dois valores x 1 e x 2 dentro do intervalo [ a , b ] . Assim a ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ b . Como f é crescente em [ a , b ] , teremos f ( a ) ≤ f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) ≤ f ( b ) . Certinho?

Passo 3

Olhando para g agora:

Como g é crescente em [ f ( a ) , f ( b ) ] , teremos g ( f a ) ≤ g ( f x 1 ) ≤ g ( f x 2 ) ≤ g ( f b ) . Certinho?

Passo 4

E g ( f x ) não é a função composta g ∘ f ? :O

Então acabamos de provar que g ∘ f é crescente em [ a , b ] , maneiro né?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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