Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 48
48. A função é derivável no intervalo fechado . Prove que se , então existirá um número no intervalo aberto , tal que .
Passo 1
Temos derivável em um intervalo, vamos ter que provar que existe um valor nesse intervalo para que a derivada seja nula.
Passo 2
Se é derivável, então é contínua no intervalo e tem valores de máximo e mínimo nesse intervalo. Pelo teorema 4.4.4 existe um nesse intervalo para que . Podemos provar isso ao observar que o valor máximo/mínimo não pode ser em nem em Vamos lá...
Passo 3
Caso 1) Se o valor máximo for em :
Então
Agora, a derivada de pela direita (porque o intervalo começa em ) fica assim:
Como , . Show?
Passo 4
Caso 1) Se o valor mínimo for em b:
Então
Agora, a derivada de pela esquerda (porque o intervalo termina em ) fica assim:
Como , . Show?
Passo 5
Agora, concluímos pro Caso 1) que e . Mas o produto entre essas derivadas deve ser . E aí? Deu ruim? Não, provamos que os valores máximo e mínimo não podem ser em ou em .
Passo 6
Podemos ter o caso 2, em que o valor mínimo é em e o valor máximo em . Isso vai apenas mudar os mudar alguns sinais, mas a conlusão será a mesma, as derivadas terão o mesmo sinal, o que vai contradizer a condição que a questão quer (). Mais uma vez, os valores máximo e mínimo não podem ser nos limites do intervalo.
Passo 7
Como provamos que é impossível os valores máximo e mínimo serem nos limites do intervalo, há um tal que desde que esse pertença a .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)