Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa

  1. Se F = P * i^ + Q * j^ e P_y = Q_x em uma região aberta D , então F é conservativo.

Passo 1

Vamos lá pra mais uma questãozinha.Esse exercício quer que a gente diga se a sentença:

Se F = P i ^ + Q j ^ e P y = Q x em uma região aberta D , então F é conservativo.

é verdadeira ou falsa e justifique.

Aqui vai ser bem mais teórico e nem vamos precisar fazer nenhuma continha.

Ahhh.. o que pode ficar confuso também é que esses P y e Q x são as derivadas parciais em outra notação que ele nem usa no livro.... tsc

P y = ∂ P ∂ y e Q x = ∂ Q ∂ x

Precisamos ter bastaaaante cuidado aqui porque tem um teorema assim, na seção 16.3:

Se F = P i ^ + Q j ^ é um campo vetorial conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então em todos os pontos de D temos:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Ish, mas o que isso quer dizer??

Quer dizer que além da condição das derivadas parciais serem iguais a região D precisa ser simplesmente conexa, ou seja, toda curva simples fechada em D contorna apenas os pontos que estão em :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Então sabendo, iremos usar essas informações para saber se a sentença é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos reler a sentença do enunciado:

- Se F = P i ^ + Q j ^ e P y = Q x em uma região aberta D , então F é conservativo.

Aparentemente está tudo certinho, porém vamos lembrar as condições para um campo ser conservativo:

Primeiro:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

A sentença diz que essa condição é estabelecida, então ok.

Segunda:

A região D precisa ser simplesmente conexa.

Ish mas em nenhum momento ele diz que D é conexa.

Então nós vamos considerar FALSO por que está faltando informação.

Resposta

FALSO

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