Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.Revisão - Ex. 5
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa
- Se e em uma região aberta , então é conservativo.
Passo 1
Vamos lá pra mais uma questãozinha.Esse exercício quer que a gente diga se a sentença:
Se e em uma região aberta , então é conservativo.
é verdadeira ou falsa e justifique.
Aqui vai ser bem mais teórico e nem vamos precisar fazer nenhuma continha.
Ahhh.. o que pode ficar confuso também é que esses e são as derivadas parciais em outra notação que ele nem usa no livro.... tsc
e
Precisamos ter bastaaaante cuidado aqui porque tem um teorema assim, na seção 16.3:
Se é um campo vetorial conservativo, onde P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um domínio D, então em todos os pontos de D temos:
Ish, mas o que isso quer dizer??
Quer dizer que além da condição das derivadas parciais serem iguais a região D precisa ser simplesmente conexa, ou seja, toda curva simples fechada em D contorna apenas os pontos que estão em :
Então sabendo, iremos usar essas informações para saber se a sentença é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos reler a sentença do enunciado:
- Se e em uma região aberta , então é conservativo.
Aparentemente está tudo certinho, porém vamos lembrar as condições para um campo ser conservativo:
Primeiro:
A sentença diz que essa condição é estabelecida, então ok.
Segunda:
A região D precisa ser simplesmente conexa.
Ish mas em nenhum momento ele diz que D é conexa.
Então nós vamos considerar FALSO por que está faltando informação.
Resposta
FALSO