Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 73
A seguir, está ilustrada a potência consumida na cidade de Ontário, Canadá, em 9 de dezembro de 2004 (P é medida em megawatts; t é medido em horas a partir da meia-noite). Usando o fato de que a potência é a taxa de variação da energia, estime a energia usada naquele dia.
Passo 1
O enunciado pede pra a gente usar a Regra do Ponto Médio para estimar a energia consumida em um dia. Seja a energia usada em um tempo em horas e a potência. Temos:
Lembra da regra do ponto médio?
A regra do ponto médio é uma técnica de aproximação numérica usada para calcular a integral definida de uma função. Em vez de calcular a área exata sob a curva da função, a regra do ponto médio usa retângulos para aproximar essa área. A altura de cada retângulo é determinada pelo valor da função no ponto médio de cada subintervalo. Dessa forma:
Onde:
- é a largura de cada subintervalo.
- é o ponto médio do i-ésimo subintervalo, e não se assuste com essa fórmula, é apenas a média aritmética do começo e do fim do intervalo ☺.
- A altura de cada retângulo é o valor da função no ponto médio, .
- A área de cada retângulo é então .
Assim:
E por fim a soma das áreas de todos os retângulos dá a aproximação da integral!
Agora que já temos as fórmulas é só substituir os dados que nos foram dados. Bora lá.
Mas e o nosso ?
Vamos fazer dessa forma, dividindo o intervalo (pois o dia tem 24h) em 12 subintervalos de 2 horas cada, tudo certo?
Passo 2
Encontrando nosso , para igual a :
Então teremos:
Agora nossos pontos:
Aqui, repare que teremos que ter exatamente pontos médios, pois temos intervalos:
São esses pontos que usaremos na nossa integral.
Passo 3
Agora vamos montar nossa integral:
Para cada valor de de até , vamos olhar o valor da potência que foi consumida no gráfico e substituir, não teremos o valor exato e sim uma estimativa:
E deixo aqui a dica de colocar o em evidência só por facilidade na hora de calcular ☺
Então:
Resposta
A energia usada no dia 9 de dezembro de 2004 foi de aproximadamente megawatt-hora.