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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 16

Encontre o comprimento exato da curva.

y = sqrt(x - x^2) + s e n^(- 1) (sqrt(x))

Passo 1

Opa! Bora resolver esse problema?! O enunciado pede pra a gente calcular o comprimento exato da seguinte curva:

y = sqrt(x - x^2) + s e n^(- 1) (sqrt(x))

O comprimento da curva é dado por:

L = int_a^b sqrt(1 + f^' (x)^2) d x

O enunciado não nos deu os limites de integração de cara, mas a raiz não pode ter resultado negativo, então:

x - x^2 >= 0

x (x - 1) >= 0

Logo:

0 <= x <= 1

Então teremos:

L = int_0^1 sqrt(1 + y^'^2) d x

Passo 2

Agora vamos derivar a função:

y = sqrt(x - x^2) + s e n^(- 1) (sqrt(x))

(lembrando que s e n^(- 1) x = a r c s e n x ) e a sua derivada é igual a:

(d)/(d x) (sin^(- 1) x) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Pra calcular a derivada de s e n^(- 1) (sqrt(x)) usamos a regra da cadeia, fazendo u = sqrt(x) :

(d)/(d x) (sin^(- 1) u) = (1)/(sqrt(1 - u^2)) = (1)/(sqrt(1 - sqrt(x)^2)) = (1)/(sqrt(1 - x))

(d)/(d x) (sin^(- 1) sqrt(x)) = (1)/(2 sqrt(x)) (1)/(sqrt(1 - x)) = (1)/(2 sqrt(x - x^2))

Para calcular a derivada de sqrt(x - x^2) também usamos regra da cadeia:

(d)/(d x) (sin^(- 1) sqrt(x)) = (1)/(2 sqrt(x - x^2)) (1 - 2 x)

Então temos:

y^' = (1)/(2 sqrt(x - x^2)) + (1 - 2 x)/(2 sqrt(x - x^2)) = (2 - 2 x)/(2 sqrt(x - x^2))

Dando uma arrumadinha:

y^' = (1 - x)/(sqrt(x - x^2))

y^' = sqrt(((1 - x)^2)/(x - x^2)) = sqrt(((1 - x)^2)/(x ( 1 - x ))) = sqrt((1 - x)/(x))

Passo 3

Lembrando que:

L = int_0^1 sqrt(1 + y^'^2) d x

Substituindo:

L = int_0^1 sqrt(1 + (1 - x)/(x)) d x

Podemos dar uma arrumadinha:

L = int_0^1 sqrt(1 + (1)/(x) - (x)/(x)) d x = int_0^1 sqrt((1)/(x)) d x = int_0^1 sqrt((1)/(x)) d x

L = int_0^1 x^(- (1)/(2)) d x

Integrando:

L = int_0^1 x^(- (1)/(2)) d x = 2 (sqrt(x)|_0^1

L = 2

𝑃rontinho!

Resposta

L = 2

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