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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 32

Calcule

int_1^2 (1 - t^2)/(t^4) d t

Passo 1

Oi, pessoal! Aqui temos uma integral definida para resolver. Pelo 1 ° teorema fundamental do cálculo temos que:

Se for integrável em [ a , b ] e se F for uma primitiva de f em [ a , b ] , então

int_a^b f (t) d t = F (b) - F ( a )

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( t ) para encontrar a nossa primitiva F ( t ) , e depois substituir os limites de integração.

Bora lá!

Passo 2

Antes de resolver a integral, vamos dar uma mexida na função para deixar ela com uma cara mais de simples de integrar.

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_1^2 (1 - t^2)/(t^4) d t = int_1^2 (1)/(t^4) d t - int_1^2 (t^2)/(t^4) d t = int_1^2 (1)/(t^4) d t - int_1^2 (1)/(t^2) d t

Agora temos duas integrais polinomiais para resolver!

Passo 3

Agora vamos aplicar a integração de polinômio.

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int t^n d t = (t^(n + 1))/(n + 1)

Onde n é o nosso expoente.

Para

int (1)/(t^2) d t = int t^(- 2) d t

Ou seja, temos n = - 2 . Substituindo,

int t^(- 2) d t = (t^(n + 1))/(n + 1) = (t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) = (t^(- 1))/(- 1) = - (1)/(t)

Vamos para próxima

int (1)/(t^4) d t = int t^(- 4) d t

Ou seja, temos n = - 4 . Substituindo,

int t^(- 4) d t = (t^(n + 1))/(n + 1) = (t^(- 4 + 1))/(- 4 + 1) = (t^(- 3))/(- 3) = - (1)/(3 t^3)

Juntando as duas integrais, ficamos com,

int_1^2 (1 - t^2)/(t^4) d t = [- (1)/(3 t^3) - (1)/(t)] = - [(1)/(3 t^3) + (1)/(t)]

Agora vamos substituir os limites de integração!

Passo 4

Seja F (t) uma primitiva de f (t) , então:

int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a)

Assim: int_1^2 (1 - t^2)/(t^4) d t = - [(1)/(3 t^3) + (1)/(t)] (2)/(1) =

= - (((1)/(3 (2)^3) + (1)/((2))) - ((1)/(3 (1)^3) + (1)/(1))) =

= (19)/(24)

Resposta

int_1^2 (1 - t^2)/(t^4) d t = (19)/(24)

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