Calcule

∫ 1 2 1 - t 2 t 4 d t

Passo 1

Oi, pessoal! Aqui temos uma integral definida para resolver. Pelo 1 ° teorema fundamental do cálculo temos que:

Se for integrável em [ a ,   b ] e se F for uma primitiva de f em [ a ,   b ] , então

∫ a b f t   d t = F b - F ( a )

Então o que vamos fazer aqui é integrar f ( t ) para encontrar a nossa primitiva F ( t ) , e depois substituir os limites de integração.

Bora lá!

Passo 2

Antes de resolver a integral, vamos dar uma mexida na função para deixar ela com uma cara mais de simples de integrar.

Podemos reescrever a integral como sendo:

∫ 1 2 1 - t 2 t 4 d t = ∫ 1 2 1 t 4 d t - ∫ 1 2 t 2 t 4 d t = ∫ 1 2 1 t 4 d t - ∫ 1 2 1 t 2 d t

Agora temos duas integrais polinomiais para resolver!

Passo 3

Agora vamos aplicar a integração de polinômio.

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Onde n é o nosso expoente.

Para

∫ 1 t 2 d t = ∫ t - 2 d t

Ou seja, temos n = - 2 . Substituindo,

∫ t - 2 d t = t n + 1 n + 1 = t - 2 + 1 - 2 + 1 = t - 1 - 1 = - 1 t

Vamos para próxima

∫ 1 t 4 d t = ∫ t - 4 d t

Ou seja, temos n = - 4 . Substituindo,

∫ t - 4 d t = t n + 1 n + 1 = t - 4 + 1 - 4 + 1 = t - 3 - 3 = - 1 3 t 3

Juntando as duas integrais, ficamos com,

∫ 1 2 1 - t 2 t 4 d t =   - 1 3 t 3 - 1 t = - 1 3 t 3 + 1 t

Agora vamos substituir os limites de integração!

Passo 4

Seja F t uma primitiva de f t , então:

∫ a b f t d t = F b - F a

Assim: ∫ 1 2 1 - t 2 t 4 d t = - 1 3 t 3 + 1 t 2 1 =

= - 1 3 2 3 + 1 2 - 1 3 1 3 + 1 1 =

= 19 24

Resposta

∫ 1 2 1 - t 2 t 4 d t = 19 24

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