A segunda derivada direcional de é
Se e , calcule .
Passo 1
A questão nos dá a função
e pede para calcularmos a segunda derivada direcional de no ponto , onde a direção da derivada é a do vetor
Note que o vetor já está normalizado!
Assim, devemos calcular
onde
Portanto, vamos começar calculando a derivada direcional de e depois obteremos a derivada segunda de na direção de
Temos que ter em mente que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por
Então precisamos calcular para determinar
Vamos ás contas...
Passo 2
Tomando o gradiente de :
Lembrando que
Assim,
Portanto, será
Passo 3
Agora vamos procurar a segunda derivada fazendo
Tomando o gradiente de :
Assim,
Logo,
Passo 4
Agora vamos substituir o ponto dado, :
Usando e :
Resposta
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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = ln ( x 2 + y ² ) , 2 ,1 ,v → = ( - 1 ,2 ) ²
Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .
Determine a derivada direcional de f x , y , z = x y + y z + z x em P 1 , - 1,3 na direção de Q 2,4 , 5 .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. g r , s = tan - 1 r s; 1,2; v = 5 i + 10 j
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = 1 + 2 x y , 3 ,4 ,v → = ( 4 ,- 3 )