A segunda derivada direcional de é
Se e , calcule .
Passo 1
A questão nos dá a função
e pede para calcularmos a segunda derivada direcional de no ponto , onde a direção da derivada é a do vetor
Note que o vetor já está normalizado!
Assim, devemos calcular
onde
Portanto, vamos começar calculando a derivada direcional de e depois obteremos a derivada segunda de na direção de
Temos que ter em mente que a derivada direcional de uma função na direção de um vetor unitário é dada por
Então precisamos calcular para determinar
Vamos ás contas...
Passo 2
Tomando o gradiente de :
Lembrando que
Assim,
Portanto, será
Passo 3
Agora vamos procurar a segunda derivada fazendo
Tomando o gradiente de :
Assim,
Logo,
Passo 4
Agora vamos substituir o ponto dado, :
Usando e :