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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 39

A segunda derivada direcional de f ( x , y ) é

D u 2 f x , y = D u D u f x , y

Se f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 e u → = 3 5 , 4 5 , calcule D u 2 f ( 2 ,   1 ) .

Passo 1

A questão nos dá a função

f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3

e pede para calcularmos a segunda derivada direcional de f no ponto ( 2 ,   1 ) , onde a direção da derivada é a do vetor

u → = 3 5 , 4 5

Note que o vetor já está normalizado!

Assim, devemos calcular

D u 2 f x , y = D u D u f x , y = D u g x , y ,

onde

g x , y = D u f ( x , y )

Portanto, vamos começar calculando a derivada direcional de f ( x , y ) e depois obteremos a derivada segunda de f na direção de u → .

Temos que ter em mente que a derivada direcional de uma função f x , y na direção de um vetor unitário u → é dada por

D u f x , y = ∇ f ⋅ u →

Então precisamos calcular ∇ f x , y para determinar D u f .

Vamos ás contas...

Passo 2

Tomando o gradiente de f :

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Lembrando que f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 ,

∇ f x , y = ( 3 x 2 + 10 x y   ,   5 x 2 + 3 y 2 )

Assim,

D u f = ∇ f x , y ⋅ u →

D u f = 3 x 2 + 10 x y ,   5 x 2 + 3 y 2 ⋅ 3 5 , 4 5

Portanto,   g x , y = D u f x , y será

g x ,   y = 9 x 2 5 + 6 x y + 4 x 2 + 12 y 2 5

g x ,   y = 29 x 2 5 + 6 x y + 12 y 2 5

Passo 3

Agora vamos procurar a segunda derivada fazendo

D u 2 f x , y = D u g x , y = ∇ g x , y ⋅ u →

Tomando o gradiente de g :

∇ g x , y = 58 x 5 + 6 y ,   6 x + 24 y 5

Assim,

D u 2 f x , y = ∇ g x , y ⋅ u →

D u 2 f x , y = 58 x 5 + 6 y ,   6 x + 24 y 5 ⋅ 3 5 , 4 5

Logo,

D u 2 f x , y = 174 x 25 + 18 y 5 + 24 x 5 + 96 y 25

D u 2 f x , y = 294 x 25 + 186 y 25

Passo 4

Agora vamos substituir o ponto dado, ( 2,1 ) :

Usando x = 2 e y = 1 :

D u 2 f 2 ,   1 = 588 + 186 25 = 774 25

Resposta

D u 2 f 2 ,   1 = 774 25

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Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .