Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 20

Determine a derivada direcional de em na direção de .

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a função de variaveis:

E queremos encontrar a derivada direcional em um ponto:

Na direção:

Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

Neste caso, o vetor obtido pelo cálculo da distância entre os dois pontos não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais:

Derivando em relação a :

E por último derivamos em relação a :

Nosso gradiente será então:

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto:

Para achar o vetor unitário :

Vamos encontrar o vetor , ele é de para :

Então temos:

Então:

Temos então que nosso vetor unitário é:

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário , como visto na fórmula apresentada no passo :