Enunciado

Determine a derivada direcional de f x , y , z = x y + y z + z x em P 1 , - 1,3 na direção de Q 2,4 , 5 .

Passo 1

Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.

Aqui a gente tem a função de 3 variaveis:

f x , y , z = x y + y z + z x

E queremos encontrar a derivada direcional em um ponto:

P 1 , - 1,3

Na direção:

Q 2,4 , 5

Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z

Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:

D u f =   ∇ f x , y , z ⋅ u

Neste caso, o vetor obtido pelo cálculo da distância entre os dois pontos não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor   u .

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais:

f x , y , z = x y + y z + z x

Derivando em relação a x :

f x = y + z  

Derivando em relação a y :

f y =   x + z

E por último derivamos em relação a z :

f z = x + y

Nosso gradiente será então:

∇ f x , y , z =   f x , f y , f z =   y + z , x + z , x + y

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto:

∇ f x , y , z =   y + z , x + z , x + y

∇ f 1 , - 1,3 = 2,4 , 0

Para achar o vetor unitário u :

Vamos encontrar o vetor v , ele é de P para Q :

P 1 , - 1,3

Q 2,4 , 5

Então temos:

v = Q - P

v = 1,5 , 2

Então:

v = 1 2 + 5 2 + 2 2

Temos então que nosso vetor unitário é:

u = v v = ( 1 30 , 5 30 , 2 30 )

Passo 4

Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u , como visto na fórmula apresentada no passo 1 :

D u f 1 , - 1,3 = 2,4 , 0 ⋅ 1 30 , 5 30 , 2 30

Realizando o produto escalar:

D u f 1 , - 1,3 = 22 30

Resposta

D u f 1 , - 1,3 = 22 / 30

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direç��o do vetor v .14. g u ,v = u 2 e - v ,3 ,0 ,v = 3 i + 4 j
11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .16. f x ,y ,z = x y 2 arctan ⁡ z ,2 ,1 ,1 ,v = 1 ,1 ,1
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v . g s ,t = s t ,2 ,4 ,v = 2 i - j
11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .15. f x ,y ,z = x 2 y + y 2 z ,1 ,2 ,3 ,v = 2 ,- 1 ,2
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . h r , s ,t = ln ⁡ ( 3 r + 6 s + 9 t ) , 1 ,1 ,1 ,v → = ( 4 ,12 ,6 )