Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 20
Determine a derivada direcional de em na direção de .
Passo 1
Oie, vou te ajudar a resolver essa atividade.
Aqui a gente tem a função de variaveis:
E queremos encontrar a derivada direcional em um ponto:
Na direção:
Primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação, com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:
Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula:
Neste caso, o vetor obtido pelo cálculo da distância entre os dois pontos não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais:
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
E por último derivamos em relação a :
Nosso gradiente será então:
Passo 3
Agora substituímos na equação o ponto:
Para achar o vetor unitário :
Vamos encontrar o vetor , ele é de para :
Então temos:
Então:
Temos então que nosso vetor unitário é:
Passo 4
Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário , como visto na fórmula apresentada no passo :
Realizando o produto escalar: