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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 26

Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

u = x e t y ,             x = α 2 β ,             y = β 2 γ ,             t = γ 2 α ;

∂ u ∂ α ,     ∂ u ∂ β ,                 ∂ u ∂ γ               q u a n d o   α = - 1 ,         β = 2 ,           γ = 1

Passo 1

Fala, galera! Tudo certinho?

Nesse problema nós temos a função

u = x e t y

que é uma função de três variáveis. Essas três variáveis dependem ainda de três variáveis, α , β , γ .

Sabendo disso, precisamos calcular

∂ u ∂ α ,     ∂ u ∂ β ,                 ∂ u ∂ γ

quando α = - 1 ,         β = 2 ,           γ = 1 .

Para calcular essas derivadas nós vamos precisar da regra da cadeia, visto que u não depende diretamente de α , β , γ .  

Para uma variável, se temos uma função f ( x ) onde x = x ( t ) e queremos determinar a derivada de f com relação a esse parâmetro t , devemos fazer

d f d t = d f d x ⋅ d x d t

Analogamente, se temos uma função   u = u ( x , y , t ) , onde essas variáveis dependem de outras três variáveis α , β , γ , devemos aplicar a mesma lógica acima. Cada variável da função u vai dar origem a um termo, portanto teremos a soma de três termos:

∂ u ∂ α = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ α + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ α + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ α

∂ u ∂ β = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ β + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ β + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ β

∂ u ∂ γ = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ γ + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ γ + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ γ

Beleza? Então vamos às contas...

Passo 2

Vamos tomar as derivadas com relação a x , y e t :

Lembrando que

u = x e t y

As derivadas serão:

∂ u ∂ x = e t y

∂ u ∂ y = x t e t y

∂ u ∂ t = x y e t y

Quando α = - 1 , β = 2 e γ = 1 , temos que

x = 2

y = 4

t = - 1

Assim,

∂ u ∂ x = e - 4

∂ u ∂ y = - 2 e - 4

∂ u ∂ t = 8 e - 4

Passo 3

Agora fazemos as derivadas de x , y e t com relação a α , β e γ :

Lembrando que

x = α 2 β ,             y = β 2 γ ,             t = γ 2 α

e que α = - 1 , β = 2 e γ = 1 :

Teremos

∂ x ∂ α = 2 α β = - 4 ,           ∂ x ∂ β = α 2 = 1             e                 ∂ x ∂ γ = 0

∂ y ∂ α = 0 ,           ∂ y ∂ β = 2 β γ = 4             e                 ∂ y ∂ γ = β 2 = 4

∂ t ∂ α = γ 2 = 1 ,           ∂ t ∂ β = 0           e                 ∂ t ∂ γ = 2 α γ = - 2

Passo 4

Portanto,

∂ u ∂ α = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ α + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ α + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ α

∂ u ∂ α = e - 4 ⋅ ( - 4 ) - 2 e - 4 ⋅ 0 + 8 e - 4 ⋅ 1

Logo,

∂ u ∂ α = 4 e - 4

Analogamente,

∂ u ∂ β = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ β + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ β + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ β

∂ u ∂ β = e - 4 ⋅ 1 - 2 e - 4 ⋅ 4 + 8 e - 4 ⋅ 0

Portanto,

∂ u ∂ β = - 7 e - 4

Por fim,

∂ u ∂ γ = ∂ u ∂ x ⋅ ∂ x ∂ γ + ∂ u ∂ y ⋅ ∂ y ∂ γ + ∂ u ∂ t ⋅ ∂ t ∂ γ

∂ u ∂ γ = e - 4 ⋅ 0 - 2 e - 4 ⋅ 4 + 8 e - 4 ⋅ ( - 2 )

∂ u ∂ γ = - 24 e - 4

Resposta

∂ u ∂ α = 4 e - 4

∂ u ∂ β = - 7 e - 4

∂ u ∂ γ = - 24 e - 4

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