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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 12

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f x , y = ln ⁡ ( x 2 + y ² ) ,                     2 ,   1 ,               v → = ( - 1 ,   2 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!

A questão é bem direta: Ela nos dá uma função f x , y = ln ⁡ ( x 2 + y ² ) e pede para encontrarmos a derivada na direção v → = ( - 1 ,   2 ) quando x ,   y = 2 ,   1 !

Mas como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas de cara a gente vê que v → não é unitário, então nosso checklist vai ser:

Normalizar v → ;

Encontrar o gradiente de f ;

Substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Para normalizar um vetor nós o dividimos pelo tamanho dele

u → = v → v →

Tamanho esse dado por:

v → = 1 + 4

v → = 5

De forma que

u → = - 1 5 , 2 5

Passo 3

O gradiente ∇ f de uma função f é o conjunto de suas derivadas parciais. Nesse caso temos f x e f y !

Para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante, de forma que

∂ f ∂ x = ∂   ln ⁡ ( x 2 + y ² ) ∂ x  

Que pode ser resolvido usando a regra da cadeia!

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

Logo, para o nosso caso

∂ f ∂ x = ∂ ln ⁡ ( u ) ∂ u ⋅ ∂   ( x 2 + y 2 ) ∂ x

f x = 2 x x 2 + y ²

Da mesma forma, agora vamos encontrar f y

∂ f ∂ y = ∂   ln ⁡ ( x 2 + y ² ) ∂ y  

f y = 2 y x 2 + y ²

De forma que

∇ f x ,   y = 2 x x 2 + y ² ,   2 y x 2 + y ²

Assim, substituindo o ponto a ,   b = ( 2 ,   1 )

∇ f 2 ,   1 = 4 5 , 2 5

Portanto, após substituir esses dados na equação da derivada direcional

D u f 2 ,   1 = 4 5 , 2 5 ⋅ - 1 5 , 2 5

Resolvendo essa multiplicação escalar, encontramos

D u f 2 ,   1 = 0

Resposta

D u f 3 ,   4 = 0

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