Enunciado

Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f x , y = 1 + 2 x y ,                     3 ,   4 ,               v → = ( 4 ,   - 3 )

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!

A questão é bem direta: Ela nos dá uma função f x , y = 1 + 2 x y e pede para encontrarmos a derivada na direção v → = ( 4 ,   - 3 ) quando x ,   y = 3 ,   4 !

Mas como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas de cara a gente vê que v → não é unitário, então nosso checklist vai ser:

Normalizar v → ;

Encontrar o gradiente de f ;

Substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Para normalizar um vetor nós o dividimos pelo tamanho dele

u → = v → v →

Tamanho esse dado por:

v → = 16 + 9

v → = 5

De forma que

u → = 4 5 , - 3 5

Passo 3

O gradiente ∇ f de uma função f é o conjunto de suas derivadas parciais. Nesse caso temos f x e f y !

Para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante, de forma que

∂ f ∂ x = ∂   ( 1 + 2 x y ) ∂ x  

f x = 2 y

Da mesma forma, agora vamos encontrar f y

∂ f ∂ y = ∂   ( 1 + 2 x y ) ∂ y  

f y = x y

De forma que

∇ f x ,   y = 2 y ,   x / y

Assim, substituindo o ponto a ,   b = ( 3 ,   4 )

∇ f 3 ,   4 = 4 ,   3 / 2

Portanto, após substituir esses dados na equação da derivada direcional

D u f 3 ,   4 = 4 ,   3 / 2 ⋅ 4 5 , - 3 5

Resolvendo essa multiplicação escalar, encontramos

D u f 3 ,   4 = 23 10

Resposta

D u f 3 ,   4 = 23 10

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