Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 11
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!
A questão é bem direta: Ela nos dá uma função e pede para encontrarmos a derivada na direção quando !
Mas como encontramos isso?
A derivada direcional de num ponto em uma direção unitário qualquer é dada por
Mas de cara a gente vê que não é unitário, então nosso checklist vai ser:
Normalizar ;
Encontrar o gradiente de ;
Substituir tudo na fórmula da derivada direcional.
Passo 2
Para normalizar um vetor nós o dividimos pelo tamanho dele
Tamanho esse dado por:
De forma que
Passo 3
O gradiente de uma função é o conjunto de suas derivadas parciais. Nesse caso temos e !
Para encontrar nós derivamos em considerando constante, de forma que
Da mesma forma, agora vamos encontrar
De forma que
Assim, substituindo o ponto
Portanto, após substituir esses dados na equação da derivada direcional
Resolvendo essa multiplicação escalar, encontramos