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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 19

Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questãozinha aí, show? Precisamos encontrar a derivada direcional dessa função, né?

Para isso vamos lembrar que podemos usar essa equação aqui:

D u D u f =   ∇ f x , y , z . u

Opa! Então temos que encontrar o vetor gradiente, né? Podemos fazer isso usando essa relação aqui, olha só:

∇ f x , y , z =   〈 f x , f y , f z 〉

E devo te lembrar que u é o vetor unitário da direção em que estamos realizando nossa derivada direcional. Ele é dado por:

u = v v

Vamos ao trabalho então!

Passo 2

Vamos primeiro achar o vetor gradiente, ok?

∇ f x , y =   〈 f x , f y 〉

Ops! Precisamos das derivadas, né?

f x = d d x x ⋅ y

f x = y 2 x y

E também em relação a y :

f y = d d y x ⋅ y

f y =   x 2 x y

Nosso gradiente será:

∇ f x , y =   〈 y 2 x y , x 2 x y 〉

Beleza! Agora vamos substituir nele o ponto que foi dado no nosso enunciado:

∇ f 2,8 = 〈 8 2 2   ⋅ 8   , 2 2 2 ⋅   8 〉

∇ f 2,8 = 〈 4 16   , 1   16 〉

Realizando a raiz:

∇ f 2,8 = 〈 4 4   , 1 4 〉

∇ f 2,8 = 〈 1   , 1 4 〉

Passo 3

Show de bola! Agora vamos encontrar o vetor unitário!

u = v v

Sabemos que esse vetor unitário estará na direção que vai do ponto P até o ponto Q . Por isso o vetor que iremos normalizar é o vetor P Q .

u = P Q P Q

Vamos então encontrar o vetor P Q :

P Q = Q - P

P Q = 5   , 4 - 〈 2   , 8 〉

P Q = 〈 3   , - 4 〉

E o seu módulo será:

P Q = 3 2 + - 4 2

P Q = 25 = 5

Sendo assim, nosso vetor unitário u , vai ser:

u = 3   , - 4 5

u = 〈 3 5   , - 4 5 〉

Passo 4

Agora sim a gente pode encontrar a derivada direcional, show de bola?

Vamos ter que:

D u f 2 ,   8 = ∇ f 2,8   ⋅ u

D u f 2 ,   8 = 1   , 1 4 ⋅   〈 3 5   , - 4 5 〉

Aqui temos um produto escalar, então vamos multiplicar os termos e então somar.

D u f 2 ,   8 = 1 ⋅ 3 5 + 1 4 ⋅ - 4 5

D u f 2 ,   8 = 3 5 - 1 5

D u f 2 ,   8 = 2 5

Uhul! Conseguimos!!

Resposta

D u f 2 ,   8 = 2 5

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