Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 9
Seja. Mostre que , mas não existe um número em tal que . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
Opa! Vamos ver o que o enunciado quer da gente agora! Temos:
E queremos mostrar que , mas não existe um número em tal que . Depois precisamos mostrar por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.
Vamos só lembrar do teorema aqui antes de já começar a resolver. Ele nos diz que se:
(i) a função for contínua num intervalo fechado
(ii) se ela for derivável no aberto
(iii) se (ela tiver os mesmos valores nos extremos do intervalo)
então deve existir um número dentro do intervalo onde a derivada se anula
Bora lá?!
Passo 2
Agora vamos ao Teorema de Rolle ele diz que:
“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de
- é diferenciável no intervalo aberto de );
Então há um númerono intervalo aberto onde ”
Primeiro vamos mostrar que . Dessa forma:
Logo, .
Passo 3
Agora, derivamos para provar a segunda parte:
Tentando igualar a função a zero:
Não temos como zerar o numerador e não podemos zerar o denominador, já que isso nos daria uma indeterminação. Logo, realmente não possui solução.
Passo 4
O nosso intervalo aqui é , mas a nossa função não satisfaz as condições! Uma vez que não existe, e também porque não é derivável em . Dessa forma não existe uma contradição no Teorema de Rolle.
Resposta
Desenvolvimento acima.