Enunciado

Seja   f x = 1 - x 2 3 . Mostre que f - 1 = f ( 1 ) , mas não existe um número c em ( - 1 ,   1 ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

Opa! Vamos ver o que o enunciado quer da gente agora! Temos:

f x = 1 - x 2 3

E queremos mostrar que f - 1 = f ( 1 ) , mas não existe um número c em ( - 1 ,   1 ) tal que f ' c = 0 . Depois precisamos mostrar por que isso não contradiz o Teorema de Rolle.

Vamos só lembrar do teorema aqui antes de já começar a resolver. Ele nos diz que se:

(i) a função for contínua num intervalo fechado [ a , b ] ;

(ii) se ela for derivável no aberto ( a , b ) ;

(iii) se f ( a ) = f ( b ) (ela tiver os mesmos valores nos extremos do intervalo)

então deve existir um número c dentro do intervalo ( a , b ) onde a derivada se anula

f ' c = 0

Bora lá?!

Passo 2

Agora vamos ao Teorema de Rolle ele diz que:

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f   é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de ( a ,   b );
  3. f ( a )   =   f ( b )

Então há um número   c   no intervalo aberto ( a ,   b ) onde f ’ ( c )   =   0

Primeiro vamos mostrar que f - 1 = f ( 1 ) . Dessa forma:

f x = 1 - x 2 3

f - 1 = 1 - - 1 2 3 = 1 - 1 = 0

f 1 = 1 - 1 2 3 = 1 - 1 = 0

Logo, f - 1 = f ( 1 ) .

Passo 3

Agora, derivamos para provar a segunda parte:

f x = 1 - x 2 3

f ' x = - 2 3 x - 1 3

Tentando igualar a função a zero:

f ' x = - 2 3 x 3 = 0

Não temos como zerar o numerador e não podemos zerar o denominador, já que isso nos daria uma indeterminação. Logo, f ' ( c ) = 0 realmente não possui solução.

Passo 4

O nosso intervalo aqui é [ - 1,1 ] , mas a nossa função não satisfaz as condições! Uma vez que f ' ( 0 ) não existe, e também porque f não é derivável em ( - 1,1 ) . Dessa forma não existe uma contradição no Teorema de Rolle.

Resposta

Desenvolvimento acima.

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